第一章集合與函式概念
1.1 集合
1.1.1集合的含義與表示
【知識要點】
1、集合的含義
一般地，我們把研究物件統稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合。
2、集合的中元素的三個特性
（1）元素的確定性； （2）元素的互異性； （3）元素的無序性
3、「屬於」的概念
我們通常用大寫的拉丁字母a,b,c, ……表示集合，用小寫拉丁字母a,b,c, ……表示元素
如：如果a是集合a的元素，就說a屬於集合a 記作 a∈a，如果a不屬於集合a 記作 aa
4、常用數集及其記法
非負整數集（即自然數集）記作：n；正整數集記作：n*或 n+ ；整數集記作：z；有理數集記作：q；實數集記作：r
5、集合的表示法
（1）列舉法：把集合中的元素一一枚舉出來，然後用乙個大括號括上。
（2）描述法：用集合所含元素的公共特徵表示集合的方法稱為描述法。
①語言描述法：例：
②數學式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是或
（3）圖示法（venn圖）
【重點】集合的基本概念和表示方法
【難點】運用集合的三種常用表示方法正確表示一些簡單的集合
1.1.2 集合間的基本關係
【知識要點】
1、「包含」關係——子集
一般地，對於兩個集合a與b，如果集合a的任何乙個元素都是集合b的元素，我們就說這兩個集合有包含關係，稱集合a為集合b的子集，記作ab
2、「相等」關係
如果集合a的任何乙個元素都是集合b的元素，同時,集合b的任何乙個元素都是集合a的元素，我們就說集合a等於集合b，即：a=b
3、真子集
如果ab,且ab那就說集合a是集合b的真子集，記作ab(或ba)
4、空集
不含任何元素的集合叫做空集，記為φ
規定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集.
【重點】子集與空集的概念；用venn圖表達集合間的關係
【難點】弄清元素與子集、屬於與包含之間的區別
1.1.3 集合的基本運算
【知識要點】
1、交集的定義
一般地，由所有屬於a且屬於b的元素所組成的集合,叫做a,b的交集．記作a∩b(讀作「a交b」)，即a∩b=．
2、並集的定義
一般地，由所有屬於集合a或屬於集合b的元素所組成的集合，叫做a,b的並集。記作：a∪b(讀作「a並b」)，即a∪b=．
3、交集與並集的性質
a∩a = a，a∩φ= φ, a∩b = b∩a，a∪a = a，a∪φ= a , a∪b = b∪a.
4、全集與補集
（1）全集
如果集合u含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看作乙個全集。通常用u來表示。
（2）補集
設u是乙個集合，a是u的乙個子集（即au），由u中所有不屬於a的元素組成的集合，叫做u中子集a的補集（或餘集）。記作： cua ，即 csa =
（3）性質
cu(c ua)=a，(c ua)∩a=φ，(c ua)∪a=u；
(c ua)∩(c ub)=c u(a∪b)，(c ua)∪(c ub)=c u(a∩b).
【重點】集合的交集、並集、補集的概念
【難點】集合的交集、並集、補集的概念與應用
1.2 函式及其表示
1.2.1函式的概念
【知識要點】
1、函式的概念
設a、b是非空的數集，如果按照某個確定的對應關係f，使對於集合a中的任意乙個數x，在集合b中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那麼就稱f：a→b為從集合a到集合b的乙個函式．記作： y=f(x)，x∈a．
其中，x叫做自變數，x的取值範圍a叫做函式的定義域；與x的值相對應的y值叫做函式值，函式值的集合叫做函式的值域．
【注意】
（1）如果只給出解析式y=f(x)，而沒有指明它的定義域，則函式的定義域即是指能使這個式子有意義的實數的集合；
（2）函式的定義域、值域要寫成集合或區間的形式．
【定義域補充】
求函式的定義域時列不等式組的主要依據是
（1）分式的分母不等於零；
（2）偶次方根的被開方數不小於零；
（3）對數式的真數必須大於零;
（4）指數、對數式的底數必須大於零且不等於1.
（5）如果函式是由一些基本函式通過四則運算結合而成的.那麼，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.
（6）指數為零底不可以等於零
（7）實際問題中的函式的定義域還要保證實際問題有意義.
(注意：求出不等式組的解集即為函式的定義域.)
2、構成函式的三要素
定義域、對應關係和值域
【注意】
（1）構成函式三個要素是定義域、對應關係和值域．由於值域是由定義域和對應關係決定的，所以，如果兩個函式的定義域和對應關係完全一致，即稱這兩個函式相等（或為同一函式）。
（2）兩個函式相等當且僅當它們的定義域和對應關係完全一致，而與表示自變數和函式值的字母無關。
3、相同函式的判斷方法
（1）定義域一致；
（2）表示式相同 (兩點必須同時具備)
【值域補充】
（1）函式的值域取決於定義域和對應法則，不論採取什麼方法求函式的值域都應先考慮其定義域.
（2）應熟悉掌握一次函式、二次函式、指數、對數函式及各三角函式的值域，它是求解複雜函式值域的基礎。
4、區間的概念
（1）區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間；
（2）無窮區間；
（3）區間的數軸表示．
【重點】理解函式的模型化思想，用集合與對應的語言來刻畫函式
【難點】符號「y=f(x)」的含義，函式定義域和值域的區間表示、
1.2.2函式的表示法
【知識要點】
1、常用的函式表示法及各自的優點
（1）函式圖象既可以是連續的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意判斷乙個圖形是否是函式圖象的依據：作垂直於x軸的直線與曲線最多有乙個交點。
（2）函式的表示法
解析法：必須註明函式的定義域；
圖象法：描點法作圖要注意：確定函式的定義域；化簡函式的解析式；觀察函式的特徵；
列表法：選取的自變數要有代表性，應能反映定義域的特徵．
【注意】
解析法：便於算出函式值。列表法：便於查出函式值。圖象法：便於量出函式值
2、分段函式
在定義域的不同部分上有不同的解析表示式的函式。在不同的範圍裡求函式值時必須把自變數代入相應的表示式。分段函式的解析式不能寫成幾個不同的方程，而應寫成函式值幾種不同的表示式並用乙個左大括號括起來，並分別註明各部分的自變數的取值情況．注意：
（1）分段函式是乙個函式，不要把它誤認為是幾個函式；（2）分段函式的定義域是各段定義域的並集，值域是各段值域的並集．
3、復合函式
如果y=f(u),(u∈m),u=g(x),(x∈a),則 y=f[g(x)]=f(x)，(x∈a) 稱為f是g的復合函式.
4、函式圖象知識歸納
（1）定義
在平面直角座標系中，以函式 y=f(x) , (x∈a)中的x為橫座標，函式值y為縱座標的點p(x，y)的集合c，叫做函式 y=f(x),(x ∈a)的圖象．
c上每一點的座標(x，y)均滿足函式關係y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為座標的點(x，y)，均在c上 . 即記為c=
圖象c一般的是一條光滑的連續曲線(或直線),也可能是由與任意平行於y軸的直線最多只有乙個交點的若干條曲線或離散點組成.
（2）畫法
a、描點法
根據函式解析式和定義域，求出x,y的一些對應值並列表，以(x,y)為座標在座標系內描出相應的點p(x, y)，最後用平滑的曲線將這些點連線起來.
b、圖象變換法
常用變換方法有三種，即平移變換、對稱變換和伸縮變換
（ⅰ）對稱變換
①將y= f(x)在x軸下方的圖象向上翻得到y=∣f(x)∣的圖象如：書上p21例5
②y= f(x)和y= f(-x)的圖象關於y軸對稱。如
③y= f(x)和y= -f(x)的圖象關於x軸對稱。如
（ⅱ）平移變換
由f(x)得到f(xa) 左加右減；
由f(x)得到f(x) a 上加下減
（3）作用
a、直觀的看出函式的性質；
b、利用數形結合的方法分析解題的思路；
c、提高解題的速度；發現解題中的錯誤。
5、對映
定義：一般地，設a、b是兩個非空的集合，如果按某乙個確定的對應法則f，使對於集合a中的任意乙個元素x，在集合b中都有唯一確定的元素y與之對應，那麼就稱對應f：ab為從集合a到集合b的乙個對映。
記作「f：ab」
給定乙個集合a到b的對映，如果a∈a,b∈b.且元素a和元素b對應，那麼，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象
【說明】
函式是一種特殊的對映，對映是一種特殊的對應
（1）集合a、b及對應法則f是確定的；
（2）對應法則有「方向性」，即強調從集合a到集合b的對應，它與從b到a的對應關係一般是不同的；
（3）對於對映f：a→b來說，則應滿足：
（ⅰ）集合a中的每乙個元素，在集合b中都有象，並且象是唯一的；
（ⅱ）集合a中不同的元素，在集合b中對應的象可以是同乙個；
（ⅲ）不要求集合b中的每乙個元素在集合a中都有原象。
6、函式的解析式
（1）函式的解析式是函式的一種表示方法，要求兩個變數之間的函式關係時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函式的定義域.
（2）求函式的解析式的主要方法有：待定係數法、換元法、消參法等
a、如果已知函式解析式的構造時，可用待定係數法；
b、已知復合函式f[g(x)]的表示式時，可用換元法，這時要注意元的取值範圍；當已知表示式較簡單時，也可用湊配法；
c、若已知抽象函式表示式，則常用解方程組消參的方法求出f(x)
高中數學必修一知識點總結人教版
第一章集合與函式概念 一 集合的含義與表示 1 集合的含義 集合為一些確定的 不同的東西的全體，人們能意識到這些東西，並且能判斷乙個給定的東西是否屬於這個整體。把研究物件統稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合，簡稱為集。2 集合的中元素的三個特性 1 元素的確定性 集合確定，則一元素是否屬於這個集合...
人教版高中數學必修4知識點
2 角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角 第一象限角的集合為 第二象限角的集合為 第三象限角的集合為 第四象限角的集合為 終邊在軸上的角的集合為 終邊在軸上的角的集合為 終邊在座標軸上的角的集合為 3 與角終邊相同的角的集合為 4 已知是第幾象限角，確定...
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第一章集合與函式概念 1.1 集合 1.1.1 集合的含義與表示 1 集合的概念 集合中的元素具有確定性 互異性和無序性.2 常用數集及其記法 表示自然數集，或表示正整數集，表示整數集，表示有理數集，表示實數集.3 集合與元素間的關係 物件與集合的關係是，或者，兩者必居其一.4 集合的表示法 自然語...