高中數學人教版必修一知識點總結梳理

第一章集合與函式概念

一：集合的含義與表示

1、集合的含義：集合為一些確定的、不同的東西的全體，人們能意識到這些東西，並且能判斷乙個給定的東西是否屬於這個整體。

把研究物件統稱為元素，把一些元素組成的總體叫集合，簡稱為集。

2、集合中的元素的三個特性：確定性、互異性、無序性

3、集合的表示：

（1）用大寫字母表示集合：a=,b=

（2）集合的表示方法：列舉法與描述法，venn圖

4、集合的分類：有限集，無限集，空集

5、元素與集合的關係：屬於：a∈a，不屬於：aa

◆ 注意：常用數集及其記法：

非負整數集（即自然數集）記作：n

正整數集 n*或 n+

整數集z

有理數集q

實數集r

6、集合間的基本關係

（1）「包含」關係—子集：（或bａ）

注意：有兩種可能（1）a是b的一部分；

（2）a與b是同一集合。

（2）「包含」關係—真子集：ab(或ba)

（3）「相等」關係：a=b ；如果ab 同時 ba 那麼a=b

（4）不含任何元素的集合叫做空集，記為φ

規定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

（5）集合的性質

① 任何乙個集合是它本身的子集。aa

②如果 ab, bc ,那麼 ac

③如果ab且bc，那麼ac

④有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1個真子集

7、集合的運算

二、函式的概念

1.函式的概念：設a、b是非空的數集，如果按照某個確定的對應關係f，使對於集合a中的任意乙個數x，在集合b中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那麼就稱f：

a→b為從集合a到集合b的乙個函式．記作： y=f(x)，x∈a．

（1）其中，x叫做自變數，x的取值範圍a叫做函式的定義域；

（2）與x的值相對應的y值叫做函式值，函式值的集合叫做函式的值域．

2.函式的三要素：定義域、值域、對應法則

3.函式的表示方法：（1）解析法,影象法，列表法

4.函式影象平移變換的特點：

1）加左減右——————只對x

2）上減下加——————只對y

3）函式y=f(x) 關於x軸對稱得函式y=-f(x)

4）函式y=f(x) 關於y軸對稱得函式y=f(-x)

5）函式y=f(x) 關於原點對稱得函式y=-f(-x)

6）函式y=f(x) 將x軸下面影象翻到x軸上面去，x軸上面影象不動得函式y=| f(x)|

7）函式y=f(x) 先作x≥0的影象，然後作關於y軸對稱的影象得函式f(|x|)

三、函式的基本性質

1、函式解析式的求法（求對應法則和定義域）

1）代入法；待定係數法；換元法；拼湊法。

2．定義域：能使函式式有意義的實數x的集合稱為函式的定義域。

求函式的定義域時列不等式組的主要依據是：

(1)分式的分母不等於零

(2)偶次方根的被開方數不小於零；

(3)對數式的真數必須大於零；

(4)指數、對數式的底必須大於零且不等於1；

(5)如果函式是由一些基本函式通過四則運算結合而成的.那麼，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合；

(6)指數為零底不可以等於零；

(7)實際問題中的函式的定義域還要保證實際問題有意義.

3、相同函式的判斷方法：①表示式相同（與表示自變數和函式值的字母無關）；②定義域一致 (兩點必須同時具備)

4、區間的概念：

（1）區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間；（2）區間的數軸表示

5、值域（先考慮其定義域）

（1）觀察法：直接觀察函式的影象或函式的解析式來求函式的值域；

（2）反表示法：針對分式的型別，把y關於x的函式關係式化成x關於y的函式關係式，由x的範圍類似求y的範圍；

(3)配方法：針對二次函式的型別，根據二次函式影象的性質來確定函式的值域，注意定義域的範圍；

(4)代換法（換元法）：作變數代換，針對根式的題型，轉化成二次函式的型別。

6.分段函式

（1）在定義域的不同部分上有不同的解析表示式的函式。

（2）各部分的自變數的取值情況．

（3）分段函式的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的並集．

（4）常用的分段函式有取整函式、符號函式、含絕對值的函式

7．對映

一般地，設a、b是兩個非空的集合，如果按某乙個確定的對應法則f，使對於集合a中的任意乙個元素x，在集合b中都有唯一確定的元素y與之對應，那麼就稱對應f：ab為從集合a到集合b的乙個對映。記作「f（對應關係）：

a（原象）b（象）」

對於對映f：a→b來說，則應滿足：

(1)集合a中的每乙個元素，在集合b中都有象，並且象是唯一的；

(2)集合a中不同的元素，在集合b中對應的象可以是同乙個；

(3)不要求集合b中的每乙個元素在集合a中都有原象。

注意：函式是對映，而對映不一定的函式

8、函式的單調性(區域性性質)及最值

（1）設函式y=f(x)的定義域為i，如果對於定義域i內的某個區間d內的任意兩個自變數x1，x2，當x1（2）如果對於區間d上的任意兩個自變數的值x1，x2，當x1注意：函式的單調性是函式的區域性性質；函式的單調性還有單調不增，和單調不減兩種

函式單調區間與單調性的判定方法

(a) 定義法：

任取x1，x2∈d，且x1作差f(x1)－f(x2)；

變形（通常是因式分解和配方）；

定號（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負）；

下結論（指出函式f(x)在給定的區間d上的單調性）．

(b)復合函式的單調性「同增異減」

注意：先求定義域，函式的單調區間只能是其定義域的子區間 ,單調區間之間用「和」或者「，」連線

9：函式的奇偶性（整體性質）

（1）偶函式：定義域內的任意乙個x，都有f(－x)=f(x)．圖象關於y軸對稱.

（2）奇函式：定義域內的任意乙個x，都有f(－x)=—f(x)．圖象關於原點對稱．

利用定義判斷函式奇偶性的步驟：

a、首先確定函式的定義域，並判斷其是否關於原點對稱；若是不對稱，則是非奇非偶的函式；若對稱，則進行下面判斷；

b、確定f(－x)與f(x)的關係；

c、作出相應結論：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，則f(x)是偶函式；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，則f(x)是奇函式．

（3）利用奇偶函式的四則運算以及復合函式的奇偶性

a、在公共定義域內，偶函式的加減乘除仍為偶函式；奇函式的加減仍為奇函式；奇數個奇函式的乘除認為奇函式；偶數個奇函式的乘除為偶函式；一奇一偶的乘積是奇函式；

b、復合函式的奇偶性：乙個為偶就為偶，兩個為奇才為奇

注意：判斷奇偶性的前提是定義域關於原點對稱

10、函式最值及性質的應用

（1）、函式的最值

a 利用二次函式的性質（配方法）求函式的最大（小）值

b 利用圖象求函式的最大（小）值

c 利用函式單調性的判斷函式的最大（小）值：

如果函式y=f(x)在區間[a，b]上單調遞增，在區間[b，c]上單調遞減則函式y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；

如果函式y=f(x)在區間[a，b]上單調遞減，在區間[b，c]上單調遞增則函式y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；

（2）、函式的奇偶性與單調性

奇函式在關於原點對稱的區間上有相同的單調性；

偶函式在關於原點對稱的區間上有相反的單調性。

（3）、判斷含糊單調性時也可以用作商法，過程與作差法類似，區別在於作差法是與0作比較，作商法是與1作比較。

（4）、絕對值函式求最值，先分段，再通過各段的單調性，或影象求最值。

（5）、在判斷函式的奇偶性時候，若已知是奇函式可以直接用f(0)=0，但是f(0)=0並不一定可以判斷函式為奇函式。

第二章基本初等函式

一、指數函式

（一）指數

1.指數與指數冪的運算：

2.根式的概念：一般地，若，那麼叫做的次方根，其中》1，且∈*．

當n是奇數時，正數的n次方根是乙個正數，負數的n次方根是乙個負數。此時，a的n次方根用符號表示。

當n為偶數時，正數的n次方根有兩個，這兩個數互為相反數。此時正數a的正的n次方根用符號表示，負的n的次方根用符號表示。

注意：負數沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作。

當是奇數時，，當是偶數時，

式子叫做根式，這裡n叫做根指數，a叫做被開方數。

3、分數指數冪

， 0的正分數指數冪等於0，0的負分數指數冪沒有意義

4、有理數指數公尺的運算性質

（1（2

（3（二）、指數函式的性質及其特點

1、指數函式的概念：定義域為r．

2、指數函式的圖象和性質

注意：利用函式的單調性，結合圖象還可以看出：

二、對數函式

（一）對數

1．對數的概念：若，那麼數叫做以為底的對數，記作：（— 底數，— 真數，— 對數式）

；常用對數：以10為底的對數；

自然對數：以無理數為底的對數的對數．

（二）對數的運算性質

如果，且，，，那麼：

·＋；－；

．注意：換底公式

（，且；，且；）．

利用換底公式推導下面的結論

（1）；（2）．

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