第十一章全等三角形
11.1 全等三角形
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學點1 全等形
能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形．
理解要點
（1）只有形狀、大小完全相同的兩個圖形才能完全重合．
（2）完全重合的兩個圖形是指它們的形狀、大小完全相同．
（3）全等形只與圖形的大小、形狀有關，與圖形的位置無關．
學點2 全等三角形
能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形，其中把兩個全等的三角形重合在一起，重合的頂點叫做對應頂點，重合的邊叫做對應邊，重合的角叫做對應角．
理解要點
（1）對應邊與對邊是兩個不同的概念，對應邊是對兩個三角形說的，是兩條邊之間的關係；而對邊是對同乙個三角形中某個角說的．
（2）對應角與對角也是兩個不同的概念，對應角是對兩個三角形說的，是兩個角之間的關係；而對角是對同乙個三角形中某個邊說的．
（3）「全等」用「≌」表示，讀作「全等於」記兩個三角形全等時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上，如△abc和△a′b′c′全等，記作△abc≌
△a′b′c′．
學點3 全等三角形的性質
全等三角形的對應邊相等；全等三角形的對應角相等．
理解要點
（1）因為全等三角形中的對應邊是重合的邊，對應角是重合的角，所以它們分別對應相等；
（2）全等三角形中不是對應邊的兩邊一定不相等，不是對應角的兩角一定不相等．
學點4 全等三角形的基本圖形
1．平移形：如圖11.1-1，它們是由對應相等的邊在同一直線上移動所構成的，對應邊的相等關係一般由同一直線上的線段和（差）而證得．
圖11.1-1
2．對稱形：如圖11.1-2，它們的特點是對應相等的邊或角重合，可沿某條直線對折，直線兩旁的部分能完全重合．
圖11.1-2
3．旋轉形：如圖11.1-3，它們的特點是以三角形的某一頂點為中心旋轉所構成的，故一般有一對相等的角隱含在平行線、對頂角、某些角的和（差）中．
圖11.1-3
名師開小灶
金考點考點1 全等形的識別
常常以給出一些圖形，並從這些圖形中尋找全等形的方式來考查全等形的定義．
[例1]觀察圖11.1-4中的各個圖形，指出其中的全等圖形．
圖11.1-4
[點撥] 根據全等形的定義進行識別．
[解答] ①和⑨、③和⑦、⑤和⑥分別是全等圖形．
[溫馨提示] 若各**形的形狀完全一樣，則通過平移、翻摺、旋轉後，能夠完全重合的是全等形，否則不是全等形．
考點2 全等三角形的對應邊與對應角的識別
識別全等三角形的對應邊與對應角對後面判斷兩個三角形的全等起著很重要的作用．因此要熟練地、準確地尋找出全等三角形的對應邊與對應角．
[例2] （1）如圖11.1-5（1），△abe≌△acf，ab=ac，則對應角是對應邊是
（2）如圖11.1-5（2），△acb≌△def，則對應角是對應邊是
（3）如圖11.1-5（3），△abc≌△ade，∠b=∠ade，∠c=∠e，則對應角是對應邊是
[點撥]兩個圖形通過平移、翻摺、旋轉後，重合的邊是對應邊，重合的角是對應角．
[解答]（1）對應角是：∠a與∠a、∠b與∠c、∠aeb與∠afc；對應邊是：ab與ac、be與cf、ae與af．
（2）對應角是：∠a與∠d、∠c與∠def、∠abc與∠f；對應邊是：ac與de、cb與ef、ab與df．
（3）對應角是：∠bac與∠dae、∠b與∠ade、∠c與∠e；對應邊是：ab與ad、bc與de、ac與ae．
[方法規律]尋找全等三角形的對應邊、對應角常常有下列方法：
（1）全等三角形對應角所對的邊是對應邊，兩個對應角所夾的邊是對應邊；
（2）全等三角形對應邊所對的角是對應角，兩條對應邊所夾的角是對應角；
（3）有公共邊的，公共邊一定是對應邊；
（4）有公共角的，公共角一定是對應角；
（5）有對頂角的，對頂角一定是對應角；
（6）兩個全等三角形中一對最長邊是對應邊，一對最短邊是對應邊，一對最大角是對應角，一對最小角是對應角；
（7）根據書寫規範，按照對應頂點找對應邊、對應角．
考點3 全等三角形性質的應用
全等三角形性質的應用既是本節內容的重點，也是難點，它常與三角形的內角和、線段的和差及全等三角形的判定等知識相聯絡起來考查．
[例3]如圖11.1-6，已知△acb≌△dfe，
且點c與點f對應．
求證：（1）bc∥ef；（2）dc=af．
[點撥]欲證兩直線平行，需找同位角、內
錯角、同旁內角；欲證線段相等可利用全等三
角形的對應邊相等及線段和差關係圖11.1-6
[解答]（1）∵△acb≌△dfe，∴∠bca=∠efd，∴bc∥ef．
（2）∵△acb≌△dfe，∴ac=df，∴ac－cf=df－cf，即dc=af．
[溫馨提示]若已知兩個三角形全等，則應想到全等三角形的對應邊、對應角相等．
考點4 全等三角形的變換
只改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大小的圖形變換叫做全等變換，全等變換的方式一般是平移、翻摺與旋轉．
[例4]你能用兩個全等的三角形拼成如圖11.1-7所示的各圖形嗎？說說△def是由△abc怎樣變換得到的．
圖11.1-7
[點撥]先動手實驗操作，然後得出結論．
[解答]可以拼成．
（1）把△abc沿ab方向向下平移就可以得到△def；（2）把△abc繞著點b順時針方向旋轉就可以得到△def；（3）把△abc以過點o且垂直於bc的直線為軸翻摺可以得到△def；（4）把△abc繞ac的中點旋轉180°就可以得到△def．
[方法點評]解決本題的關鍵是先動手實踐操作，再得出結論．這說明了很多數學問題可以運用實驗的辦法來解決．
密鑰匙能力拓展
[例1]如圖11.1-8，△abc≌△def，∠a=60°，∠b=45，bf=4，試求∠dfe的度數與ec的長．
[點撥]根據全等三角形的性質、三角形的內角和定理及線段
的和差關係進行解答。
[解答]在△abc中，∠a+∠b+∠c=180°．
∵∠a=60°，∠b=45°，
∴∠acb=180°－60°－45°=75°．
∵△abc≌△def，
∴∠dfe=∠acb，bc=ef（全等三角形的對應角、對應邊相等）
∴∠dfe=75°,ec=ef－fc=bc－fc=bf=4．
[方法點評]解決本題的關鍵是運用全等三角形的對應角、對應邊相等的性質及線段的和差關係與等線段的替換．
綜合運用
[例2]如圖11.1-9，△abe和△adc是△abc分別沿著
ab、ac邊翻摺180°形成的．若∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3，
試求∠α的度數．
[點撥]先求出∠2、∠3的度數，再根據三角形的外角的
性質與全等三角形的性質進行解答．
[解答] ∵∠1∶∠2∶∠3=28∶5∶3，又∠1+∠2+∠3=180°，
∴∠1=140°，∠2=25°，∠3=15°．
∵△abe和△adc是由△abc翻摺180°而形成的．
∴△abe≌△abc，△adc≌△abc．
∴∠abe=∠2=25°，∠acd=∠3=15°．
∴∠ebc=2∠2=50°，∠dcb=2∠3=30°．
∴∠α=∠ebc+∠dcb=50°+30°=80°．
[方法點評]解決本題的關鍵是運用全等三角形的對應角相等，三角形的內角和等於180°及三角形的乙個外角等於與它不相鄰的兩個內角和的性質．
思想方法
[例3]已知△abc≌△a′b′c′，△abc的三邊長分別為6、m、n，△a′b′c′的三邊長分別對應為p、10、q，若△abc的各邊長都是整數，試求m+n+p+q的最大值．
[點撥]根據全等三角形的對應邊相等及三角形的三邊關係求出m、n的值．
[解答] ∵△abc≌△a′b′c′，∴p=6，m=10，q=n，所以△abc的三邊長分別為6、10、n．根據三角形的三邊關係，得4＜n＜16，又△abc的各邊長都是整數，∴n的最大值為15．∴m+n+p+q的最大值為：10+15+6+15=46．
[警示誤區]運用「全等三角形的對應邊相等」時應注意「對應」二字，同時根據三角形的三邊關係求出第三邊長的取值範圍時不要忽略「各邊長都是整數」這一限制條件．
創新**
[例4]如圖11.1-10，在正方形abcd中，e是ad的中點，f是ba延長線上的一點，已知△abe≌△adf．
（1）在圖中可以通過平移、翻摺、旋轉中的哪一種方法，使△abe變到△adf．
（2）探索線段be與df之間的數量和位
置關係，並說明理由．
[點撥]根據全等變換的特點，全等三角形的性質進行解答．
[解答]（1）把△abe繞a點逆時針方向旋轉90°得到△adf；
（2）be=df，且be⊥df，理由如下：延長be交df於點m．
∵△abe≌△adf，∴be=df，∠abe=∠adf．
∵∠aeb=∠med，∴∠emd=∠eab=90°． ∴be⊥df．
[方法點評]解決本題的關鍵是根據全等三角形的性質新增適當的輔助線證明垂直關係，在證明be⊥df時，也可以通過證∠b+∠f=90°得到．
生活數學
[例5]用硬紙板剪乙個長為8cm，寬為6cm的長方形，其對角線為10cm，再沿對角線把它剪成兩個三角形（如圖11.1-11）．請你用這兩個三角形拼出各種三角形和四邊形來計算出每乙個周長，並指出它們當中哪乙個周長最大，哪乙個周長最小．
[點撥]沿對角線把長方形剪成的兩個三角形是全等三角形．
[解答]設周長為l，顯然這兩個三角形是全等三角形，它們可以拼成的圖形如圖11.1-12所示．
圖11.1-12
最大周長為36 cm，最小周長為28 cm．也就是說，當其中乙個三角形的較小直角邊與另乙個三角形的直角邊重合時周長最長；當兩個三角形的斜邊重合時周長最小．
[方法點評]解決本題的關鍵是列舉出有一條公共邊的兩個全等三角形的不同組合情形．
1 1全等三角形
主備人 審核人日期姓名班級小組 1.1 全等三角形 學習目標 1.理解全等三角形的概念，能識別全等三角形的對應頂點 對應邊 對應角。2.掌握全等三角形的對應邊相等，對應角相等的性質，並運用這一性質解決有關的問題。3.會用符號表示全等三角形及他們的對應元素，培養學生的符號意識。重點 難點 對全等三角形...
11章三角形
基礎 1 等腰三角形兩邊長分別為3，7，則它的周長為 2 已知等腰三角形的周長為16，1 若其中一邊為4，求另外兩邊的長 2 若其中一邊長為6，求另外兩邊的長。3 下列說法錯誤的是 a 三角形的三條高一定在三角形內部交於一點 b 三角形的三條中線一定在三角形內部交於一點 c 三角形的三條角平分線一定...
全等三角形
全等三角形 第一節 題型一 全等三角形對應邊相等 如圖所示，abc繞點a旋轉就能與 ade完全重合，則它們的對應角是 對應邊是 第1題第3題第4題第5題 已知 abc a b c abc的周長為20，a b 8，b c 5，則ac等於a 5 b 6 c 7 d 8 如圖所示，acf dbe，e f ...