函式零點、方程根問題
1.（2011湖北文）設函式，，其中，、
為常數，已知曲線與在點處有相同的切線.
（i） 求、的值，並寫出切線的方程；
（ii）若方程有三個互不相同的實根0、、，其中，且對任意的，恆成立，求實數的取值範圍.
解：（ⅰ）由於曲線在點
處有相同的切線，故有
由此得所以，切線的方程為.
（ⅱ）由（ⅰ）得，所以依題意，方程有三個互不相同的實數，故是方程的兩相異的實根，所以
又對任意的恆成立，特別地，取時，
恆成立，得
由韋達定理，可得
對任意的，
則.又，所以函式
在上的最大值為0.於是當時，對任意的，
恆成立，
綜上，的取值範圍是
2.（2011天津文）已知函式，其中．
（ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；
（ⅱ）當時，求的單調區間；
（ⅲ）證明：對任意的在區間內均存在零點.
（ⅰ）解：當時，，
所以曲線在點處的切線方程為
（ⅱ）解：，令，解得因為，所以分兩種情況討論：
（1）若變化時，的變化情況如下表：
所以，的單調遞增區間是的單調遞減區間是.
（2）若，當變化時，的變化情況如下表：
所以，的單調遞增區間是的單調遞減區間是
（ⅲ）證明：由（ⅱ）可知，當時，在內的單調遞減，在內單調遞增，以下分兩種情況討論：
（1）當時，在內單調遞減，在內單調遞增.
所以對任意在區間內均存在零點.
（2）當時，在內單調遞減，在內單調遞增，
若，，所以內存在零點.
若，所以
內存在零點.所以，對任意在區間內均存在零點.
綜上，對任意在區間內均存在零點.
3.（廣東理）已知二次函式的導函式的圖象與直線平行，且在處取得極小值，．設．
（1）若曲線上的點到點的距離的最小值為，求的值；
（2）如何取值時，函式存在零點？並求出零點．
解：（1）依題可設 ()，則；
又的圖象與直線平行，，.
，，設，則當且僅當時，取得最小值，即取得最小值，當時，，解得；當時，，解得.
（2）由()，得
當時，方程有一解，函式有一零點；
當時，方程有二解，若，，函式有兩個零點，即；若，，函式有兩個零點，即；當時，方程有一解， ， 函式有一零點.
綜上，當時， 函式有一零點；當()，或（）時，函式有兩個零點；當時，函式有一零點.
4.（2013山東理）設函式（是自然對數的底數，）.
(ⅰ)求的單調區間、最大值；
(ⅱ)討論關於的方程根的個數.
4. 解:(ⅰ)， 由，解得.當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，所以，函式的單調遞增區間是，單調遞減區間是， 最大值為 .
(ⅱ)令 ，.
(1)當時，，則， 所以，
因為， ， 所以 .因此在上單調遞增.
(2)當時，，則， 所以
因為，，所以，又，所以 ，所以 .
因此在上單調遞減. 綜合(1)(2)可知，當時，.當，即時，沒有零點，故關於的方程根的個數為0；
當，即時，只有乙個零點，故關於的方程根的個數為1；
當，即時，
當時，由(ⅰ)知，要使，只需，即；
當時，由(ⅰ)知，要使，只需，即；
所以時，有兩個零點，故關於的方程根的個數為2.
綜上所述，當時，關於的方程根的個數為0；
當時，關於的方程根的個數為1；
當時，關於的方程根的個數為2.
5.（2012陝西）設函式.
(1)設，，證明：在區間內存在唯一的零點；
(2)設，若對任意，有，求的取值範圍；
(3)在(1)的條件下，設是在內的零點，判斷數列的增減性.
5.(1)，時，.
∵，∴在內存在零點. 又當
時，，∴ 在上是單調遞增的，所以在記憶體
在唯一零點.
(2)當時，，對任意都有等價於在上最大值與最小值之差.據此分類討論如下：
(ⅰ)當，即時， ，與題設矛盾.
(ⅱ)當，即時， 恆成立.
(ⅲ)當，即時，恆成立.
綜上可知，.注:(ⅱ)(ⅲ)也可合併證明如下：
用表示中的較大者.當，即時，
恆成立.
(3)證法一：設是在內的唯一零點，，，，於是有：
.又由(1)知在上是遞增的，故，所以數列是遞增數列.
證法二： 設是在內的唯一零點，
，則的零點在內，故，所以，數列是遞增數列.
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