北京第八中學陳孟偉、黃煒、彭紅、劉燕
【教學目標】
(1)知識與技能
使學生明確學習立體幾何的目的，初步了解立體幾何研究的內容；使學生初步建立空間觀念，會看空間圖形的直觀圖；使學生直觀了解空間中的點、直線、平面的位置關係，並初步了解符號語言；使學生了解平面幾何與立體幾何的聯絡與區別．
(2)過程與方法
通過動手試驗、互相討論等環節，培養學生的自主學習、語言表達等能力，以及相互協作的團隊精神；通過對具體情形的分析，歸納得出一般規律，培養學生的歸納能力．
(3)情感態度價值觀
激發學生的學習熱情，在思維層次上，讓學生逐步體驗「偶然——必然，必然——自由」的過程，為培養學生良好的思維習慣奠定基礎．
【教學重點】
初步了解立體幾何研究的內容，培養空間想象能力．
【教學難點】
克服平面幾何的干擾，了解立體幾何研究問題的方法．
【教學方法】
教師啟發講授，學生觀察模型、動手實驗、分組討論、**學習．
【教學手段】
多**、立體模型等．
【教學過程】
一、創設情境，激發興趣，引入課題
1、演示一**片
從學生熟悉的央視新大樓、鳥巢、長城、祈年殿、金字塔、晶體結構、dna模型引出立體幾何，引起學生的興趣，同時說明立體幾何非常有用．
人們在建造房屋、修建水壩、研究晶體的結構、研究dna的結構、在計算機上設計三維動畫，研究高畫質晰度電視以及虛擬實境技術等都需要立體幾何．我們需要進一步了解我們生活的空間．這就是我們學習立體幾何的目的．立體幾何研究的是立體圖形，它們的形狀、大小、相互位置，與立體圖形有關的計算、畫圖與某些應用．還在幾千年前，勞動人民在常年累月耕地，建河堤、運河、築神廟、宮殿時積累了很多立體幾何的知識，作為二十一世紀的中學生，我們應該更好地學習立體幾何，為以後的學習打好基礎．
2、思考兩個問題
問題1 把一塊豆腐切3刀，最多能切成幾塊？
問題2 用六根等長的火柴棍最多能拼成多少個正三角形？
鼓勵學生用模型實驗、積極發言，讓學生更進一步的感受立體幾何，明確學好立體幾何的關鍵是培養空間想象能力．
二、歸納探索，形成正確認知
1．直觀圖
例1 我們看下面的兩幅圖，他們有什麼區別？請你分別用書和筆表示出來．
上面這幅圖說明了直觀圖乙個原則。請學生總結立體圖形直觀圖的虛實線使用和平面幾何圖形的不同之處．
原則一：當乙個平面被另乙個平面遮擋時，被遮擋部分的線段畫成虛線或者不畫．
在立體幾何中我們通過虛實結合來表示立體圖形的前後．
引申：想象一下能否出現這樣的情形？為什麼？
練習1 (1)請同學們觀察左邊圖形，說明是從哪個角度進行觀察的．
(2)在右邊圖形中，如果從上面觀察，那些線應該畫成實線，哪些畫成虛線，試著在上圖修改．
學生動手操作．教師也可以根據學生的意見，利用《幾何畫板》等軟體實時地進行演示，提高師生互動性和課堂的時效性．
在立體圖形中，我們通常用希臘字母來表示平面，對於立方體這樣的圖形，我們通常按照順時針或者逆時針的順序依次將上下兩個底面標上字母，然後將立方體記為或者記為立方體．
練習2 正方體中，分別是和的中點，連線．右圖是否正確？如不正確，如何修改？
學生討論，然後回答．根據學生的回答，教師利用軟體實時地進行修改演示，讓學生立刻形成正確的認識．
例2 觀察正方體，回答下列問題：
(1)面是什麼圖形？
(2)是多少度？是的平分線嗎？是的平分線嗎？
(3)與平行嗎？
(4)計算的大小．
請學生回答，說明理由．利用模型和軟體，實時進行演示．比如，可以將幾何體旋轉乙個適當的位置，再讓學生觀察，形成正確的認識．請學生總結表示立體圖形的直觀圖和平面幾何圖形的異同點．
答：(1)正方形．
原則二：平面圖形的畫法是真實的，而空間圖形的直觀圖是不真實的．
如正方體的底面本是正方形，但在直觀圖中都畫成平行四邊形．又如圓柱的底面本是圓，但在直觀圖中都畫成了橢圓．
學生討論，然後回答，說明理由．利用軟體，將幾何體旋轉到不同位置讓學生觀察．告訴學生不光要觀察，還用進行想象和推理．
(2)，是的平分線，不是的平分線．
(3)不平行．他們分別在兩個平面內，並且永遠不可能相交．
(4)因為為正三角形，所以．
原則三：在研究空間圖形時，不能依據對圖形的直覺作出判斷，而應依據正確的推理、計算作出結論．
再次歸納空間立體圖形直觀圖的三個原則．
2．空間中的點、直線、平面位置關係
點、直線、平面是立體幾何中的最簡單的圖形，研究它們的位置關係很有必要。
我們將直線和平面看作點的集合，我們利用與集合類似的符號來表示它們之間的關係．
問題1 觀察頂點a與其它稜所在直線的位置關係．
問題2 觀察稜ab所在直線與其它稜所在直線的位置關係．
問題3 觀察稜ab所在直線與某個面所在平面的位置關係．
問題4 觀察正方體的面所在平面與其它面所在平面的位置關係．
充分讓學生發表意見，教師同時作必要的修正，並且將學生的表述用符號語言進行板書，如下：
點a與直線的位置關係：(1)點在直線上：；(2)點不在直線上：．
直線與直線的位置關係：(1)平行：；(2)相交：；(3)異面．
直線與平面的位置關係：(1)直線在平面內：；(2)直線與平面平行：；(3)直線與平面相交：．
平面與平面的位置關係：(1)平行：；(2)相交：．
教師通過提問，引導學生進行總結，並指出研究這些關係是立體幾何的重要內容．其中平行與垂直關係是日常生產生活中用得最多，所以它們是立體幾何研究的重點．
3．平面幾何與立體幾何
提出疑問：平面幾何中也研究了點和直線，那麼能否在立體幾何中使用平面幾何中的定理呢？
問題1 平面幾何中，正方形的對角線互相垂直。圖中的與垂直嗎？
我們可以將麵化成平面圖形，這樣我們發現平面幾何的定理是可以在面上使用。
學生充分討論，教師適當引導，使學生形成正確認識，同時交給學生研究立體幾何的好方法——將立體圖形中某個平面抽取出來，畫出它平面圖．
問題2 平面幾何中，垂直於同一直線的兩直線平行。在上圖中，，，那麼和平行嗎？
教師將平面幾何的乙個定理錯誤地推廣到立體幾何中，引發學生討論．
問題3 平面幾何中，平行於同一直線的兩直線平行。在上圖中，，，那麼和平行嗎？
教師將平面幾何的乙個定理正確地推廣到立體幾何中，引發學生討論．
教師引導學生進行小結：平面幾何的定理在立體圖形的某乙個平面上完全成立，平面幾何中有的定理在空間中不成立，而有的仍成立．
三、歸納總結，提高認識
教師給出提綱，引導學生對學習過程進行「盤點」，從而形成規律性的結論．通過提問，督促學生進行自我總結：
1、你通過本節課學到了什麼知識？
2、你在學習本節課時用到了哪些方法？它們在你以後的學習中會有作用嗎？
3、還有哪些地方不是很清楚，需要進一步學習?
使學生養成自覺總結、及時總結的好習慣。
四、課後作業
**正方體的截面問題
問題1假設我們用刀對正方體切一刀，將其一分為二，那麼我們稱切開的切面為正方體的截面，如圖．很顯然，當切的位置和方向不同時，得到的截面是不同的，那麼我們都可能得到幾邊形的截面呢？
因為這個題目的答案從三角形到六邊形都可能，乙個學生很難將其回答完整，但通過學生的互相啟發補充，相信可以得出完整的答案．
問題2如果要求截面必須是四邊形，那你都可以得到什麼樣的截面呢？
利用手中的正方體模型動手實踐，學生可以逐漸總結出各種答案：平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形等．在總結課上教師根據學生敘述，利用幾何畫板演示．
問題3你得到的各種四邊形有什麼共同的特點(共性)？為什麼？
因為有初中平面幾何的基礎，學生不難總結出以上得到的各種四邊形都至少有一組對邊平行．至於為什麼會出現這種情況，學生就不得不認真觀察正方體六個面之間不同的位置關係，即垂直和平行，並且可能會有個別程度較好的學生會逐漸總結出一些猜想，如：乙個平面交兩個平行平面的交線平行．
問題4具體總結每種截面四邊形得到的過程，你能說說為什麼得到的截面就是這種四邊形嗎？你獲得了哪些經驗，有什麼樣的猜想？可將學生分組進行研究．
因為之前已經研究過截面為四邊形時，必然會經過一組平行的平面(對面)，所以只需研究另外兩個面是平行，還是垂直的情況．
(1)一般平行四邊形：另兩個面也必須平行(如圖)，且沒有任何一條交線與稜平行．
(2)矩形：另兩個面既可以平行，也可以垂直，且有一對交線平行於稜，另兩條不平行．（由此可以總結線面垂直關係）
(3)菱形：類似一般平行四邊形，只不過還需鄰邊相等．
(4)正方形：類似矩形，只不過四條交線都和相應的稜平行．
(5)(等腰)梯形：另兩個面需垂直，且沒有交線與稜平行．(教師可以提出更深問題：可以得到直角梯形嗎？)
問題5剛才**的過程體現了什麼樣的數學思想？依此類推，當截面是其他情況時，分別又該如何考慮？
學有餘力，或有興趣的學生繼續思考．
【教學設計說明】
一、教學內容的分析
「幾何學是研究現實世界中物體的形狀、大小與位置關係的數學學科．人們通常採用直觀感知、操作確認、思辨論證、度量計算等方法認識和探索幾何圖形及其性質．三維空間是人類生存的現實空間，認識空間圖形，培養和發展學生的空間想象能力、推理論證能力以及幾何直觀能力，是高中階段數學必修系列課程的基本要求．」
「在立體幾何初步部分，學生將先從對空間幾何體的整體觀察入手，認識空間圖形；能用數學語言表述有關平行、垂直的性質與判定，並對某些結論進行論證．學生還將了解一些簡單幾何體的表面積與體積的計算方法．」
(1)立體幾何初步的教學重點是幫助學生逐步形成空間想象能力．我們提供了豐富的實物模型和利用計算機軟體呈現的空間幾何體，幫助學生認識空間幾何體的結構特徵，並能運用這些特徵描述現實生活中簡單物體的結構，掌握在平面上表示空間圖形的方法和技能．
(2)立體幾何初步的教學應注意引導學生通過對實際模型的認識，學會將自然語言轉化為圖形語言和符號語言．我們盡力幫助學生在直觀感知的基礎上，認識空間中一般的點、線、面之間的位置關係；通過對圖形的觀察、實驗和說理，使學生初步了解空間平行、垂直關係，從而為學生展現立體幾何的全貌．
立體幾何總結
第一章空間幾何體 一 空間幾何體的結構特徵 1 多面體 由若干個平面多邊形圍成的幾何體.旋轉體 把乙個平面圖形繞它所在平面內的一條定直線旋轉形成的封閉幾何體.2 柱，錐，臺，球的結構特徵 1.稜柱 1.1稜柱 有兩個面互相平行，其餘各面都是四邊形，並且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍...
立體幾何證明
立體幾何證明高中立體幾何的證明主要是平行關係與垂直關係的證明。方法如下 難以建立座標系時再考慮 平行關係 線線平行 1.在同一平面內無公共點的兩條直線平行。2.公理4 平行公理 3.線面平行的性質。4.麵麵平行的性質。5.垂直於同一平面的兩條直線平行。線面平行 1.直線與平面無公共點。2.平面外的一...
空間立體幾何
1.如圖，在直三稜柱abc a1b1c1中，acb 90 bac 30 bc 1，aa1 m是稜cc1的中點 1 求證 a1b am 2 求直線am與平面aa1b1b所成角的正弦值 2.如圖，已知正三稜柱abcva1b1c1的底面邊長為2，側稜長為3，點e在側稜aa1上，點f在側稜bb1上，且ae ...