本章主要掌握以下內容：
1、矩陣的逆矩陣定義，存在條件及求法，靈活運用公式：a-1=a* |a|≠0
2、矩陣和其伴隨矩陣的關係式：a a*= a*a=|a|e；伴隨矩陣的求法.
3、矩陣的加法、減法、乘法，轉置及方陣的行列式計算
4、幾個特殊的分塊矩陣的逆矩陣：
①= ②=
③= ④=
（結果可以直接利用，如果記不住的話，可以再推導一遍）
5、分塊矩陣的運算
§ 2-1 矩陣
§ 2-2 矩陣的運算
一、填空
1.若，，則，.
2.設為三階方陣，若則 16 .
3.設，而，則.
4.設，為二階方陣，則.
5.設為三階矩陣，，則其伴隨矩陣的行列式=.
二.計算
1.設，，求及.
解： .
2.計算.
解：.3. 設為三階方陣，若已知，求.
解：.4.設，求所有與可交換的矩陣，即求使.
解：設，
∴，其中是任意常數.
三、證明
1.已知，，驗證.
證： .
2.設為n階方陣，且為對稱矩陣，證明：也是對稱矩陣.
證：因，
.所以是對稱矩陣.
3.設是n階對稱矩陣，證明：是對稱矩陣的充分必要條件是.
證：充分性
因， 從而
又， ∴
必要性得證.
§ 2-3 逆矩陣
§ 2-4 矩陣分塊法
一、填空
1.方陣可逆的充分必要條件是.
2.的逆矩陣為.
3.的伴隨矩陣為.
4.若為同階矩陣，且可逆，若，則
5.設與為可逆矩陣，為分塊矩陣，則.
二、計算
1.求的逆矩陣.
解：，=，
.2.求的逆矩陣.
解：，=，
.3.解矩陣方程：.
解： x==.
4.設，其中，，求.
解： ………….
5.分塊矩陣，其中分別為階與階可逆方陣，為矩陣，為零矩陣，求.
解：設.
三、證明
1.設為同階矩陣，且為非奇異矩陣，滿足，求證：（是正整數）.
證明：用數學歸納法
當時，成立
假設則得證.
2.設階矩陣的伴隨矩陣為，證明（1）若，則；(2).
證明：（1）
（法1）
不妨設若…,全為零，顯然有
若…,不全為零，則易知
…=0 =1,2, …,n
則利用行列式的性質：（把的第1列乘以，然後再把第2列乘以，第3列乘以，…，第列乘以，然後將所有列都加到第1列後，第1列的元素全為零）
則.（法2）分2種情況：
1 當，則，∴
2 若，用反證法，假設，則可逆，
由知，即與矛盾，∴.
(2)若，由（1）知：
若，則.
3.若為正整數)，求證：
證明：∴.
第二章複習題
二、計算
1、設a為n階方陣，滿足
解： ,
2、已知實矩陣滿足：1），2），計算
解：由(1)可知，
又3、設a為三階方陣，為a的伴隨矩陣，a的行列式
解： 4、設，求a
解： 記 ，再計算。
5、設矩陣a的伴隨矩陣，求b
解：由又（利用分塊陣求行列式的值）
,.,代入(*)式中即得.
(利用分塊矩陣求逆的方法)
三、證明
1、設方陣a滿足，證明a可逆，並求a的逆矩陣
證明：由，得
，即可逆並且.
2、證明：若，但a不是單位矩陣，則a必為奇異矩陣
證明：假設為非奇異陣，即可逆.那麼,與題設矛盾
故必為奇異陣.
3、設a、b為n階方陣，e－ab可逆，證明：e－ba可逆
證明：又可逆又
可逆並且
4、設a為n階非零矩陣，為a的伴隨矩陣，為a的轉置矩陣，當時，證明
證明：為非零矩陣,
必存在.
5、設a為n階方陣，，試證
證明：存在
左邊第二章自測題a
二、計算
1、設,求
解：由猜想
再用數學歸納法證明。
2、解矩陣方程
解：記題設條件為，則
3、設a＝diag(1,-2,1),，求b
解：4、設，求
解：記5、n階矩陣a及s階矩陣b都可逆，求
解：6、求矩陣的逆矩陣，
解：可以利用第5題的結論
三、證明
1、設a，b為n階方陣，且，e為n階單位陣，證明：當且僅當
證明： 若
若 即證
2、設矩陣a可逆，證明其伴隨矩陣也可逆，且
證明：3、設矩陣，b及a＋b都可逆，證明也可逆，並求其逆矩陣
證明：4、a為n階矩陣，e為n階單位陣，滿足，證明：a為可逆矩陣，並求
證明：第二章自測題b
一、 設，求所有3階方陣b，使ab與ba的逆矩陣相同
解： 由題設，b滿足1）可逆，2）ab＝ba
，，，又因為b可逆，
為非零常數，、為任意常數
二、 設，試證：當n≥3時，恒有，並利用這個關係
證明：用數學歸納法證明
三、 證明：用數學歸納法證明。
四、 求所有與可交換的矩陣
解：設，滿足。比較對應位置上的元素即得結論。
五、 設a為反對稱矩陣，b為對稱矩陣，試證
1、是對稱矩陣
2、ab－ba是對稱矩陣
3、ab是反對稱矩陣的充要條件是ab＝ba
證明：，
1）2）
3）六、 若矩陣a的元素均為整數，求證：中的元素均為整數的充要條件為
證明：必要性.
中的元素均為整數
均為整數
充分性.
，若，中的元素均為整數.
七、 ，ab＝a＋b，試求b
證明：，.
八、設a為二階方陣，k是大於2的整數，證明：
證明：i)當時，顯然結論成立.
ii)當時，不妨設
，或（1） 當時，
（2）時，
2） 設a、b、c、d都是n階方陣，且ac＝ca，試證
證明：1）若a可逆
2）若a不可逆，存在，使得可逆
由1）的結論
(*)式兩邊的均為的多項式，而由a為n階方陣，所以使得可逆的的多項式有無窮多個,(*)式有無窮多解.故亦滿足(*)式,因此
十、設有分塊矩陣，其中a，皆為非奇異方陣，求證：
證明：左相當於進行行變換
十一、設a是m×n矩陣，b是n×m矩陣，試證明：
證明：又
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