本文所述的矩陣方程是指形如ax=b的方程，其中a是乙個mxn的矩陣，稱為方程的係數
矩陣。x和b是mx1的矩陣。特別的，當b=0時，這種方程又稱為齊次方程。本文將討論
這種矩陣的有解條件和求解方法。
矩陣方程的有解條件
為了解釋矩陣方程的有解條件，我們首先要熟悉一些概念。
乙個矩陣方程的增廣矩陣是係數矩陣a和b並在一起構成的矩陣，記作(a,b)。
假定 , ，則矩陣方程的增廣矩陣就是
矩陣的秩定義為其行向量中極大線性無關組中包含向量的個數，等價的說法是，矩陣的秩
是r，則矩陣通過行列初等變換，變換成左上角是乙個r階單位矩陣，其他都是0的矩陣。矩陣a的秩記作r(a)，其中r是英文單詞rank的縮寫。
有了這兩個基本概念，我們就可以準確描述矩陣方程的有解條件了：矩陣方程ax=b的有
解條件是矩陣a的秩等於增廣矩陣(a,b)的秩，也就是r(a)=r(a,b)。
證明很簡單，既然矩陣a的秩是r，那麼肯定可以找到兩個可逆的矩陣p,q，滿足
--1)
其中i r表示r階單位矩陣。
應用到原來的方程，可以得到:
--2)
我們把q-1x當作乙個未知的變數，paq當作係數，這就構成乙個新的矩陣方程。而這個矩
陣方程的左側係數除了前r行是有1的之外，其餘行是0。為了它有解，pb的後m-r行必
須也是0。這樣(a,b)的秩必然是r。
必須注意到q-1是可逆的，因此以q-1x為未知變數的方程有解意味著以x為未知變數的原
方程也是有解的。
矩陣方程的解
對於矩陣方程ax=b，如果滿足r(a)=r(a,b)，則矩陣方程是有解的。為了求它的解，我們首先把矩陣方程通過行列初等變換變化成前文2）式的形式，代入1）式後得到：
--3)
其中q-1x和pb是乙個列向量，我們可以把它們分割成rx1和(n-r)x1的兩個矩陣，分別記作x』1和x』2，及b』1和b』2。則很顯然我們可以得到：
--4)
很顯然，b』2必須為0，因為展開後b』2等於0 x』1 +0 x』2 =0
而由4式可以看出，x』1= b』1，x』2可以為任意向量。
所以方程最後的解為：
--5)
從解的形式可以看出解空間有如下特性：
1．方程ax=b的解空間的秩是n-r(a)
2．如果a是滿秩的，則方程的解唯一。
矩陣運算與方程組求解
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