有限體積法求解二維可壓縮euler方程
——計算流體力學課程大作業
老師： 夏健、劉學強
學生： 徐錫虎
學號： sq0901*******
日期： 2023年2月5日
目錄一、內容摘要2）
二、流動控制方程2）
三、有限體積法的空間離散2）
四、人工耗散3）
五、時間離散4）
六、邊界條件5）
七、計算結果8）
八、結論與展望11）
參考文獻11）
一、內容摘要
本文通過運用jameson有限體積法求解了二維定常和非定常可壓縮euler方程。程式實現語言為c++。其中，使用的網格是三角形非結構網格。
在時間推進上使用的是四步龍—庫塔推進格式。推進的時間步長取的是當地的時間步長。為了消除迭代誤差、round-off等誤差，本文採用了新增人工耗散項的辦法。
另外，本文計算了naca0012翼型在跨音速下不同迎角的情況，並與fluent軟體的計算結果進行了比較，來驗證程式的準確性。
二、流動控制方程
守恆形式的euler方程：
1）其中x和y代表笛卡兒座標系。w是守恆變數。
2)f,g表示通量
3),p , h和e表示密度，壓強，單元總焓和單元總能量。u,v表示笛卡兒座標系下的速度向量。這些量由理想氣體的單位體積的總能量和總焓相互聯絡。
4)5)
三、有限體積法的空間離散
計算域被劃分為互不重疊的單元。在每個單元運用守恆形式的euler方程。由於每個單元相對於時間都是不變的，所以等式（1）可以寫成：
8） 其中和s是單元的體積和邊界。w是單元的平均值。
在對上述方程進行時間離散前，先對空間進行離散，則方程（6）可以寫為：
9）其中表示第k個單元的體積，是第k個單元的守恆變數。表示第k個單元的通量。方程（7）的右邊項可以寫成：
10）其中11）
（8）式中的求和是對第k個單元的所有邊進行的。守恆引數的量是單元中心值，在求通量時，第i條邊的守恆引數值是用左右單元的平均來表示的：
12）引入變數：
13）則第k單元的euler方程可以寫為：
14）在本文中，採用的是jamenson有限體積法，為了減少儲存的相關資訊的量，其儲存的方式選擇的是按邊儲存的方法。在儲存的每條邊的資訊中，包含了這條邊的邊號，左右單元號和邊的端點。在計算通量時採用按邊迴圈的方式：
do i=1,nedge
k=connmatrix(i,1)
a=connmatrix(i,2)
b=connmatrix(i,3)
p=connmatrix(i,4)
flux=function(k,a,b,p)
sum(k)=sum(k)+flux
sum(p)=sum(p)-flux
end do
這裡給出的是fotran語言的形式，我編寫採用的是c，具體表現在上交的程式中。
在計算時間步長、人工耗散項等也可用象這樣按邊迴圈，從此處我們可以看出求解時與單元的形狀無關。
四、人工耗散
人工粘性模型對方法的成功應用起著關鍵作用，人工粘性抑制解在激波附近的振盪，又阻尼解在光滑區域內的高階誤差，對解的線性穩定和收斂於定態是很重要的。本文在方程（14）的右端加入了人工耗散項，如對於單元k，其表示式可以表示為：
15）在有限體積法中，耗散項的公式可以表示為：
16）其中：
17）其中的i表示單元k和p的公共邊，定義為：
18）上面的j表示與k相鄰的單元。
19）20）
其中的量的範圍是：。
在計算時發現上面方法得到的人工耗散項並不太適合。其在光滑區域耗散項太大，而在大剃度區域又顯得太小，為了彌補上面的不足，作下面的修改：
21）自適應係數為：
22）尺度係數為：
23）其中的u,v表示邊上的值，c表示當地聲速。
五、時間離散
方程最後的穩定解是通過時間上的迭代得到的，可以寫為：
24）右邊項的表示式為：
25）為了加速收斂，時間迭代使用的是4步龍—庫塔推進格式。格式如下：
26） 其中的n表示的是當前的時間步，n+1表示的是新的時間步：
27）28）
為了減小計算時間，人工耗散項的計算只在第一步進行，在下面幾步的迭代中保持不變。運用上面的方法計算，可以發現cfl數可以取到，本文中使用的是2.0。
使用顯示格式迭代的主要缺點是由於穩定區域的限制，所以不能使用過大的時間步長。可以用近似的方法估算時間步長，對於任意形狀的網格，可以使用下面的方法：
29）六、邊界條件
1 固面邊界條件
對與無粘流動，固面邊界條件無穿透條件，設其法向的速度通量為零，即。由於壓強項的影響，x－向和y－向的動量通量並不為零。固面的壓強近似的取為其相鄰的單元的單元中心壓強。
廣泛的數值研究證明，如果貼近壁面的單元足夠小，並且人工耗散項運用正確，用這種方法取得的壓強對結果的精度不會產生太大的影響。
2 遠場邊界條件
本文提到的遠場，實際是人為的有界邊界，對於流場中的擾動會傳到很遠的地方。因而對於遠場邊界條件，情況比較複雜，它不能直接給定具體的流場值，需要與流場內的值來共同確定遠邊場的流場值。如果邊界取得過小，則通常採用環量修正。
一般情況下，我們採用無反射邊界條件。
為了保證擾動波不會反射回流場，應用提出的遠場邊界法向一維特徵分析方法，來建立無反射的遠場邊界條件。
一維均熵流動的euler方程可寫成：
30)31)
這裡，動量方程中除去了壓強項，將上式寫成矩陣形式為：
32)這裡：
33)的特徵值為：，
因此，上式的兩族特徵線為：
34)35)
(34)為特徵線，(35)為特徵線。
沿，給出了眾所周知的riemann不變數，：
36)37)
這裡不變數，沿入流特徵線是常數，可以用來流條件計算得到；沿出流特徵線是常數，可以用流場內部向外插值計算：
38)39)
上式中下標「」表示來流值，下標「」表示以計算域內部引數外插獲得的值。
通過riemann不變數，的加減，可獲得遠場的法向速度和音速：
40)41)
根據riemann不變數，按邊界附近資訊傳播的性質把遠場邊界條件分成以下四種情況：
a、 亞音速入流條件，它有三條入流特徵線，需規定三個條件：
42)43)
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