附錄ⅰ 大學數學實驗指導書
實驗1 行列式與矩陣
實驗目的
掌握矩陣的輸入方法. 掌握利用mathematica (4.0以上版本) 對矩陣進行轉置、加、減、
數乘、相乘、乘方等運算, 並能求矩陣的逆矩陣和計算方陣的行列式.
基本命令
在mathematica中, 向量和矩陣是以表的形式給出的.
1. 表在形式上是用花括號括起來的若干表示式, 表示式之間用逗號隔開.
如輸入則輸入了兩個向量.
2. 表的生成函式
(1) 最簡單的數值表生成函式range, 其命令格式如下:
range[正整數n]—生成表;
range[m, n]—生成表;
range[m, n, dx]—生成表, 步長為dx.
2. 通用表的生成函式table. 例如,輸入命令
table[n^3,]
則輸出輸入table[x*y,,]
則輸出 ,,}
3. 表作為向量和矩陣
一層表**性代數中表示向量, 二層表表示矩陣. 例如,矩陣
可以用數表,}表示.
輸入a=,}
則輸出 ,}
命令matrixform[a]把矩陣a顯示成通常的矩陣形式. 例如,輸入命令:
matrixform[a]
則輸出注:一般情況下,matrixform[a]所代表的矩陣a不能參與運算.
下面是乙個生成抽象矩陣的例子.
輸入table[a[i,j],,]
matrixform[%]
則輸出注:這個矩陣也可以用命令array生成,如輸入
array[a,]//matrixform
則輸出與上一命令相同.
4. 命令identitymatrix[n]生成n階單位矩陣.
例如,輸入
identitymatrix[5]
則輸出乙個5階單位矩陣(輸出略).
5. 命令diagonalmatrix[…]生成n階對角矩陣.
例如,輸入
diagonalmatrix
則輸出 ,,}
它是乙個以b[1], b[2], b[3]為主對角線元素的3階對角矩陣.
6. 矩陣的線性運算:a+b表示矩陣a與b的加法;k*a表示數k與矩陣a的乘法; 或
dot[a,b]表示矩陣a與矩陣b的乘法.
7. 求矩陣a的轉置的命令:transpose[a].
8. 求方陣a的n次冪的命令:matrixpower[a,n].
9. 求方陣a的逆的命令:inverse[a].
10.求向量a與b的內積的命令:dot[a,b].
實驗舉例
矩陣的運算
例1.1 設求及
輸入 a=,,}
matrixform[a]
b=,,}
matrixform[b]
transpose[a].b//matrixform
則輸出及的運算結果分別為
求方陣的逆
例1.2 設求
輸入clear[ma]
ma=,,,};
inverse[ma]//matrixform
則輸出求方陣的行列式
例1.3 求
輸入clear[a,a,b,c,d];
a=,,
,};det[a]//simplify
則輸出例1.4 設矩陣求
輸入a=,,,,}
matrixform[a]
det[a]
tr[a]
matrixpower[a,3]//matrixform
則輸出分別為
11592
3實驗習題1
1.設求及
2.設求一般地(k是正整數).
3.求的逆.
4.設且求
5.利用逆矩陣解線性方程組
實驗2 矩陣的秩與向量組的最大無關組
實驗目的學習利用mathematica(4.0以上版本)求矩陣的秩,作矩陣的初等行變換; 求向
量組的秩與最大無關組.
基本命令
1. 求矩陣m的所有可能的k階子式組成的矩陣的命令:minors[m,k].
2. 把矩陣a化作行最簡形的命令:rowreduce[a].
3. 把數表1,數表2, …,合併成乙個數表的命令:join[list1,list2,…]. 例如輸入
join[,},,}]
則輸出 ,,,}
實驗舉例
求矩陣的秩
例2.1 設求矩陣m的秩.
輸入clear[m];
m=,,};
minors[m,2]
則輸出,,}
可見矩陣m有不為0的二階子式. 再輸入
minors[m,3]
則輸出}
可見矩陣m的三階子式都為0. 所以
例2.2 求矩陣的行最簡形及其秩.
輸入 a=,,,,}
matrixform[a]
rowreduce[a]//matrixform
則輸出矩陣a的行最簡形
根據矩陣的行最簡形,便得矩陣的秩為3.
矩陣的初等行變換
例2.3 用初等變換法求矩陣的逆矩陣.
輸入 a=,,}
matrixform[a]
transpose[join[transpose[a],identitymatrix[3]]]//matrixform
rowreduce[%]//matrixform
inverse[a]//matrixform
則輸出矩陣a的逆矩陣為
向量組的秩
例2.4 向量組是否線性相關?
輸入clear[a];
a=,,,};
rowreduce[a]//matrixform
則輸出向量組包含四個向量, 而它的秩等於3, 因此, 這個向量組線性相關.
向量組的最大無關組
例2.5 求向量組
的最大無關組, 並將其它向量用最大無關組線性表示.
輸入clear[a,b];
a=,,,,};
b=transpose[a];
rowreduce[b]//matrixform
則輸出在行最簡形中有三個非零行, 因此向量組的秩等於3. 非零行的首元素位於第
一、二、
四列,因此是向量組的乙個最大無關組. 第三列的前兩個元素分別是3,1,於是
第五列的前三個元素分別是於是
實驗習題
1.求矩陣的秩.
2.求t, 使得矩陣的秩等於2.
3.求向量組的秩.
4.當t取何值時, 向量組的秩最小?
5.向量組是否線性相關?
6.求向量組的最大線性無關組. 並用最大無關
組線性表示其它向量.
7.設向量求證:向量組
與等價.
實驗3 線性方程組
實驗目的熟悉求解線性方程組的常用命令,能利用mathematica命令各類求線性方程
組的解. 理解計算機求解的實用意義.
基本命令
1.命令nullspace,給出齊次方程組的解空間的乙個基.
2.命令linearsolve,給出非齊次線性方程組的乙個特解.
3.解一般方程或方程組的命令solve見mathematica入門.
實驗舉例
求齊次線性方程組的解空間
設為矩陣,為維列向量,則齊次線性方程組必定有解. 若矩陣的
秩等於,則只有零解;若矩陣的秩小於,則有非零解,且所有解構成一向量空間. 命令
nullspace給出齊次線性方程組的解空間的乙個基.
例3.1 求解線性方程組
輸入clear[a];
a=,,,};
nullspace[a]
則輸出}
說明該齊次線性方程組的解空間是一維向量空間,且向量(-2,1,-2,3)是解空間的基.
注:如果輸出為空集,則表明解空間的基是乙個空集,該方程組只有零解.
例3.2 向量組是否線性相關?
根據定義,如果向量組線性相關,則齊次線性方程組
有非零解.
輸入clear[a,b];
a=,,,};
b=transpose[a];
nullspace[b]
輸出為}
說明向量組線性相關,且
非齊次線性方程組的特解
例3.3 求線性方程組的特解.
輸入clear[a,b];
a=,,,};
b=linearsolve[a,b]
輸出為注: 命令linearsolve只給出線性方程組的乙個特解.
例3.4 求出通過平面上三點(0,7),(1,6)和(2,9)的二次多項式並畫出其圖形.
根據題設條件有輸入
clear[x];
a=,,}
矩陣方程求解方法 矩陣解題
本文所述的矩陣方程是指形如ax b的方程，其中a是乙個mxn的矩陣，稱為方程的係數 矩陣。x和b是mx1的矩陣。特別的，當b 0時，這種方程又稱為齊次方程。本文將討論 這種矩陣的有解條件和求解方法。矩陣方程的有解條件 為了解釋矩陣方程的有解條件，我們首先要熟悉一些概念。乙個矩陣方程的增廣矩陣是係數矩...
計算實習報告線性方程組的求解
上海交通大學 計算實習 課程設計 報告課題名稱 線性方程組的求解 系 院 理學院 專業 數學與應用數學 班級學生姓名 學號指導教師 李俊玲老師 開課時間 2010 2011 學年一學期 摘要本文主要考慮了一類係數矩陣為正定對稱矩陣的線性方程組的求解問題，基於等價轉換可將該問題的求解轉化為乙個二次函式...
求解設問為變數之間關係的不定方程組
如果未知數的個數多於方程的個數，這類問題就叫做不定方程。在考試中，部分考生認為所有的不定方程組難度都非常高，從而直接放棄。實際上，對於不同型別的不定方程問題採用不同的方法技巧來求解並不是想象中那麼難，在此，我們對其進行總結，希望對廣大考生有所幫助。在判斷出一道題目為不定方程組時，解該不定方程組的步驟...