§1 矩陣及其運算
一、矩陣的基本概念（必考）
矩陣，是由m*n 個數組成的乙個m行n列的矩形**，通常用大寫字母表示，組成矩陣的每乙個數，均稱為矩陣的元素，通常用小寫字母其元素表示，其中下標都是正整數，他們表示該元素在矩陣中的位置.比如,或表示乙個m*n 矩陣，下標ij 表示元素位於該矩陣的第行、第列.元素全為零的矩陣稱為零矩陣.
特別地，乙個m*1矩陣 ，也稱為乙個 m維列向量；而乙個 1*n矩陣b=(b1,b2,…，bn)，也稱為乙個 n維行向量.
當乙個矩陣的行數m與烈數n 相等時，該矩陣稱為乙個 n階方陣.若乙個n階方陣的主對角線上的元素都是 ，而其餘元素都是零，則稱為單位矩陣，記為 ，即： .
單位矩陣與實數中的『1』的運算相近.如乙個階方陣的主對角線上（下）方的元素都是零，則稱為下（上）三角矩陣是乙個階下三角矩陣.
例題：1.a既是上三角矩陣，又是下三角矩陣，則a必是對角矩陣
2.兩矩陣既可相加又可相乘的充要條件是兩矩陣為同階方陣.
3.a=(l≠n)，則a的主對角線上個元素的和為 (設矩陣為2行3列的矩陣，找規律)
二、矩陣的運算
1、矩陣的加法 ： 如果是兩個同型矩陣（即它們具有相同的行數和列數，比如說 ），則定義它們的和仍為與它們同型的矩陣（即 ）， 的元素為和對應元素的和，即： .
給定矩陣 ，我們定義其負矩陣為： .這樣我們可以定義同型矩陣的減法為： .由於矩陣的加法運算歸結為其元素的加法運算，容易驗證，矩陣的加法滿足下列運算律：
(1)交換律： ； (2)結合律： ；
(3)存在零元： ;(4)存在負元： .
2 、數與矩陣的乘法的運算律：
（1) ； （2) ； （3) ；
（4) .
3 、矩陣的乘法（必考）
設為距陣， 為距陣，則矩陣可以左乘矩陣 （注意：距陣的列數等與矩陣的行數），所得的積為乙個距陣，即,其中,並且(即左行乘右列)
矩陣的乘法滿足下列運算律（假定下面的運算均有意義）：
(1）結合律： ； (2）左分配律： ；
(3）右分配律： ；
(4）數與矩陣乘法的結合律： ；
(5）單位矩陣的存在性： .
若為階方陣，則對任意正整數 ，我們定義： ，並規定： 由於矩陣乘法滿足結合律，我們有： ， .
注意： 矩陣的乘法與通常數的乘法有很大區別，特別應該注意的是： （必考重要）
（1)矩陣乘法不滿足交換律：一般來講即便有意義， 也未必有意義；倘使都有意義，二者也未必相等.正是由於這個原因，一般來講,在實數中的某些運算不再適應，如,，反過來，這些公式成立的條件又恰是a、b可逆.
例：a,b,c是同階矩陣，a≠0,若ab=bc,必有b=c,則a滿足可逆
（2)兩個非零矩陣的乘積可能是零矩陣，即未必能推出或者. 同理，a≠0，b≠0，而ab卻肯能等於0.
例題：（選擇題5、6）
（3)矩陣的乘法不滿足消去律：如果並且 ，未必有 .
4 、矩陣的轉置 ：
定義：設
為矩陣，我們定義的
轉置為乙個矩陣，並用表示的轉置，即： .
矩陣的轉置運算滿足下列運算律：
（1) ； （2) ；
（3) ； （4) (重要).
5、對稱矩陣 ：
n階方陣若滿足條件： ，則稱為對稱矩陣；若滿足條件： ，則稱為反對稱矩陣.
若設 ，則為對稱矩陣，當且僅當對任意的成立； 為反對稱矩陣，當且僅當對任意的成立.從而反對稱矩陣對角線上的元素必為零.對稱矩陣具有如下性質：
（1)對於任意矩陣 ， 為階對稱矩陣；而為階對稱矩陣；
（2)兩個同階（反）對稱矩陣的和，仍為（反）對稱矩陣；
（3)如果兩個同階（反）對稱矩陣可交換，即 ，則它們的乘積必為對稱矩陣，即 .
運算性質：
1） （2） （3）（4） （5）
三、逆矩陣
1.定義對於階矩陣，如果存在階矩陣，使得．則稱為可逆矩陣或非奇異矩陣．稱為的逆矩陣，．由定義可得，與一定是同階的，而且如果可逆，則的逆矩陣是唯一的．
這是因為（反證法），如果、都是的逆矩陣，則有，，那麼所以逆矩陣是唯一的．我們把矩陣的逆矩陣記作．
逆矩陣有下列性質：
（1）如果可逆，則也可逆，且．由可逆的定義，顯然有與是互逆的．
（2）如果、是兩個同階可逆矩陣，則也可逆，且．（必考重點）
這是因為
，所以．（必考重點）
這個結論也可以推廣到有限個可逆矩陣想乘的情形.
（3）可逆矩陣的轉置矩陣也是可逆矩陣，且．
這是因為，
所以 ．
（4）如果是可逆矩陣，則有．
這是因為，兩邊取行列式有，所以．
矩陣可逆的條件
（1）n階方陣a可逆的充分必要條件是| a | ≠ 0（也即r（a）= n）；
（2）n階方陣a可逆的充分必要條件是a可以通過初等變換（特別是只通過初等行（列）變換）化為n階單位矩陣；
（3）n階方陣a可逆的充分必要條件是a可以寫成一些初等矩陣的乘積；
（4）n階方陣a可逆的充分必要條件是a的n個特徵值不為零；
（5）對於n階方陣a，若存在n階方陣b使得ab = e（或ba = e），則a可逆，且a-1 = b.
逆矩陣的有關結論及運算必考 ——求法
方法1 定義法：設a是數域p上的乙個n階方陣，如果存在p上的n階方陣b，使得ab = ba = e，則稱a是可逆的，又稱b為a的逆矩陣.當矩陣a可逆時，逆矩陣由a惟一確定，記為a-1.
例1：設a為n階矩陣，且滿足，求a-1.
【解】方法 2 伴隨矩陣法：a-1 = a*.
定理n階矩陣a = aij為可逆的充分必要條件是a非奇異.且
其中aij是|a|中元素aij的代數余子式.矩陣稱為矩陣a的伴隨矩陣，記作a*，於是有a-1 = a*.
注 ①對於階數較低（一般不超過3階）或元素的代數余子式易於計算的矩陣可用此法求其逆矩陣.注意a* = （aji）n×n元素的位置及符號.特別對於2階方陣，其伴隨矩陣,即伴隨矩陣具有「主對角元素互換，次對角元素變號」的規律.
②對於分塊矩陣不能按上述規律求伴隨矩陣.
例2：已知，求a-1.
【解】 ∵| a | = 2 ≠ 0 ∴a可逆.由已知得
， a-1 = a* =
方法3 初等變換法：
注 ①對於階數較高（n≥3）的矩陣，採用初等行變換法求逆矩陣一般比用伴隨矩陣法簡便.在用上述方法求逆矩陣時，只允許施行初等行變換.
②也可以利用求得a的逆矩陣.
③當矩陣a可逆時，可利用求解
求得a-1b和ca-1.這一方法的優點是不需求出a的逆矩陣和進行矩陣乘法，僅通過初等變換即求出了a-1b或ca-1.
例3：:用初等行變換求矩陣的逆矩陣.
【解】方法4 用分塊矩陣求逆矩陣：設a、b分別為p、q階可逆矩陣，則：
例4：已知，求a-1.
【解】 將a分塊如下：
其中可求得從而方法5 恒等變形法求逆矩陣：有些計算命題表面上與求逆矩陣無關,但實質上只有求出矩
陣的逆矩陣才能算出來,而求逆矩陣須對所給的矩陣等式恒等變
形,且常變形為兩矩陣的乘積等於單位矩陣的等式.
例8 已知，且，試求．
解由題設條件得
3.伴隨矩陣
如果階矩陣的行列式,則稱是非奇異的(或非退化的).否則,稱是奇異的(或退化的).（n階矩陣a可逆的充要條件是:|a|≠0）
設,是中元素的代數余子式.矩陣順序變化，重點）稱為的伴隨矩陣.
矩陣為可逆矩陣的充分必要條件是為非奇異矩陣,並且當可逆時,有
，伴隨矩陣
例1. 已知矩陣
判斷是否可逆,如果可逆,求.
解: 因為 ,
所以可逆.又
所以四、分塊矩陣
一、分塊矩陣的概念
對於行數和列數較高的矩陣, 為了簡化運算，經常採用分塊法，使大矩陣的運算化成若干小矩陣間的運算，同時也使原矩陣的結構顯得簡單而清晰. 具體做法是：將大矩陣用若干條縱線和橫線分成多個小矩陣.
每個小矩陣稱為的子塊, 以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣.
矩陣的分塊有多種方式，可根據具體需要而定
注：乙個矩陣也可看作以個元素為1階子塊的分塊矩陣.
二、分塊矩陣的運算
分塊矩陣的運算與普通矩陣的運算規則相似. 分塊時要注意，運算的兩矩陣按塊能運算，並且參與運算的子塊也能運算，即，內外都能運算.
1. 設矩陣與的行數相同、列數相同，採用相同的分塊法, 若
其中與的行數相同、列數相同, 則
2.設為數, 則
3．設為矩陣,為矩陣, 分塊成
其中的列數分別等於的行數, 則
其中4. 分塊矩陣的轉置
設則5. 設為階矩陣, 若的分塊矩陣只有在對角線上有非零子塊, 其餘子塊都為零矩陣, 且在對角線上的子塊都是方陣, 即
,其中都是方陣, 則稱為分塊對角矩陣.
分塊對角矩陣具有以下性質：
(1) 若，則，且
(2)(3) 同結構的對角分塊矩陣的和、差、積、商仍是對角分塊矩陣. 且運算表現為對應子塊的運算。
6.形如
或 的分塊矩陣，分別稱為上三角分塊矩陣或下三角分塊矩陣，其中是方陣.
同結構的上（下）三角分塊矩陣的和、差、積、商仍是上（下）三角分塊矩陣.
例題選講:
例1設. 則a就是乙個分塊矩陣.
若記則a可表示為這是乙個分成了4塊的分塊矩陣.
五、矩陣的初等變化與初等矩陣
定義 1 初等變換是下列三種變換的統稱
矩陣a經過有限次初等行變化變為b，則矩陣a與矩陣b是等價的，記作a~b.矩陣的等價關係具有反身性、對稱性和傳遞性.即初等變化不改變矩陣的可逆性.
六、矩陣的秩
定義1 在矩陣中，任取行列,位於這些行列交叉處的個元素,不改變它們在中所處的位置次序而得到的階行列式, 稱為矩陣的階子式.
注：矩陣的階子式共有個.
設為矩陣，當時，它的任何子式都為零. 當時，它至少有乙個元素不為零, 即它至少有乙個一階子式不為零. 再考察二階子式, 若中有乙個二階子式不為零.
則往下考察三階子式, 如此進行下去, 最後必達到中有階子式不為零, 而再沒有比更高階的不為零的子式. 這個不為零的子式的最高端數反映了矩陣內在的重要特徵，在矩陣的理論與應用中都有重要意義.
第二章矩陣及其運算 考研
1 已知線性變換 求從變數到變數的線性變換 解由已知 故 2 已知兩個線性變換 求從到的線性變換 解由已知 所以有3 設,求解 4 計算下列乘積 1 2 3 4 5 6 解 1 2 3 4 5 6 5 設,問 1 嗎?2 嗎?3 嗎?解 1 則 2 但故 3 而 故6 舉反列說明下列命題是錯誤的 若...
第二章有理數及其運算 4 6
第四節有理數的加法 1 模組一預習反饋 一 學習準備 1.如果兩個數只有 不同，那麼稱其中乙個數為另乙個數的 也稱這兩個數特別地，0的相反數是 如，正數的相反數是 2.在數軸上，乙個數所對應的點與原點的 叫該數的絕對值。正數的絕對值是 負數的絕對值是零的絕對值是0.3 請同學們閱讀教材p34 p36...
第二章有理數及其運算期末複習
1 有理數的分類 正有理數 有理數零有限小數和無限迴圈小數 負有理數 或整數有理數分數2.相反數 只有符號不同的兩個數叫做互為相反數，零的相反數是零 3數軸 規定了原點 正方向和單位長度的直線叫做數軸 畫數軸時，要注意上述規定的三要素缺一不可 任何乙個有理數都可以用數軸上的乙個點來表示。解題時要真正...