南昌航空大學碩士研究生2010/2011學年第2學期考試卷
學生姓名所在學院： 數信學院學號： 10007010
課程名稱： 特殊矩陣成績
任課教師姓名任課教師所在學院： 數信學院
1． 用你所熟悉的計算機語言編寫，求解任意矩陣的範數和無窮範數，，及其條件數．
解：首先來估計．定義，．
設，，，，且，那麼， ．
則，因此是凸集．
同理可證，是上的凸函式．那麼求的問題就等價於求凸函式在凸集上的最大值問題．
設在的梯度存在，則由凸函式的性質可知
現在假設滿足，使得
令則在附近有
因此，有
其中．再令
則有如下結論：
（1） 若，則是在中的區域性最大值；
（2） 若，則，其中滿足．
基於這一定理可設計如下的演算法：
；；；；其中；因為，所以．對於的估計，因為，可以得到．然後，對進行分解，可以得到．對於，
得到．同理，對進行分解，可以得到．
條件數．
將上面的演算法用matlab語言來實現，matlab源程式如下：
源程式的執行結果：
2．將任意的實三對角矩陣通過相似變換化為對稱矩陣的形式．
解：設．取階對角矩陣，並且，．那麼．直接計算
，要使上面的矩陣為對稱矩陣，需要滿足條件．
若，時，得．令，利用公式，可以遞推得到的值。這樣我們就找到了非奇異矩陣．
若，時，
①，，或，，時，
可令．取，，可以遞推得到的值．
②存在某個指標集，，
ⅰ）．當時，，或，，
可以用公式來計算．
ⅱ）．當時， ，
可以用公式來計算．
將上面的演算法用matlab語言來實現，matlab源程式如下：
源程式的執行結果：
3．求任意矩陣的屬於特徵值的右特徵向量和左特徵向量，且．
解：用冪法可以求得矩陣的乙個特徵值，及屬於的右特徵向量。將冪法用於矩陣，可以求的屬於特徵值的左特徵向量．
①若， ，且，令，，那麼．
②若， ，，取一對角矩陣．
，且，，那麼．
令，若，可令，，那麼．
③若， ，
，．取一對角矩陣，．
，且，，那麼．
，且，，那麼．
令， ，
若，可令，，那麼．
將上述的演算法用matlab語言來實現，matlab源程式如下：
源程式的執行結果：
4．請給出任意階數的對稱三對角及對稱五對角矩陣的求逆方法．
解：設頻寬為的階對稱矩陣的逆矩陣為．一般情況下，不在為矩陣．但是仍然具有對稱性和次對稱性，即，
，其中， 為次單位矩陣．根據的對稱性，
有，因此只需要求解個元素即可．
根據，有
，，，．
其中，，．
若，則．
根據上式可知，若知道了，那麼就可以遞推求得
，．同理，根據，若知道了，那麼就可以遞推求得
，．進而根據，也可以遞推求得向量中的各個分量．下面就是對稱三對角及對稱五對角矩陣是做個簡單的討論．
①，則．根據前面的討論，只要求的，就可以遞推求得的所有元素．而且，易知．
對於的求法，可以通過下面的公式來求解．
設，按第一行展開得
經過有限次的運算，可以得到下面的結論：
．若，；
．若， ．
②，則．為求，我們需要知道，，．
記，，，分別為中位置處，位置處，位置處的余子式．即，，
．由行列式的展開定理得：
將其寫成矩陣形式有
．於是，．矩陣的特徵多項式為
．從而由定理知，，即
因此，，，，都是常係數齊次差分方程
的解．解出它們後，就可以求得
， ， ，
利用它們就可以求出的全部元素了．
5．已知是正規矩陣，求證：①當時，正交相似於一對角矩陣；
②當時，正交相似於一對角分塊矩陣，即存在某個實正交矩陣，使得可化為如下的形式：
．其中是或的實矩陣．當是的實矩陣時，它有如下的形式：．
證明：①根據定理，對於任意的矩陣，都存在乙個上三角矩陣
，使得酉相似於矩陣，即對於某個酉矩陣，有
因為是正規矩陣，即．由，得：．進而，
，即也是正規矩陣。下面我們來證明上三角正規矩陣必然是對角矩陣．
因為，那麼矩陣中位置處的元素和矩陣中位置處的元素是相等的，即：
．進而： ．又因為是非負的實數，必然有，
同理，中位置處的元素和中位置處的元素也是相等的，即：
．進而：按照這種方法，逐次計算和對角線處的元素，我們可以得到這樣的結論：
又因為是上三角矩陣，即：，，．
因此是對角矩陣．
②因為，根據定理，存在乙個實正交矩陣，使得可以正交相似於某個上三角矩陣，即：
，．其中是的實矩陣．，，，
．當時，即的特徵值是一對共軛負數．
又是實正規矩陣，即：，易證．我們下面只需
要證明是對角矩陣，當時，即可完成定理的證明．
分別計算和對角線上位置處的元素，根據它們的相等關係及分塊矩陣的乘法，我們有：
又因為因此，
．進而，
因為，， ，所以，．那麼上述和的每一項，．
因為的第個主對角元素是的第行元素的平方和，因此所有的
，．進而，。在①中已經證明了對角正規矩陣必然是對角矩陣，因此．
計算和對角線上位置處的元素，因為及
，，得到下面的等式：
．又，進而，可得到，
，又，因此，．進而，，．所以，．是正規矩陣．
按照上面的方法，逐次計算和對角線上，，位置處的元素，得出是正規矩陣，當時，。下證，有如下的形式：
． 因為是正規矩陣，所以。又，，
取和中，位置處的元素，可以得到下面的兩個等式：
當時， ．
當時，．此時是實對稱矩陣，特徵值全為實數，這與的特徵值是一對共軛負數相矛盾。因此，，．進而，，
並且有一對共軛的負根，．
6．已知，，分別為基本輪換矩陣，向前移位矩陣和向後移位矩陣，則任意輪換矩陣可以寫成．任意的矩陣
，，可以寫成。
其中， ，，.
證明：①因為，是階單位矩陣．
直接計算可知，並且，
．直接驗證，
．因此，．
②直接計算
， ，， ，
．直接計算，
，，，．
因為，．所以，．
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