重慶大學研究生2009級
工科碩士生矩陣論考試試卷a
(考試時間:2023年11月?日晚7:00-9:00 考試方式:閉卷a)
成績一、(15分)在中有兩組基,
求 (1)由基到基的過渡矩陣;
(2)向量在基之下的座標;
(3)在兩組基下有相同座標的非零向量。
解:(1)因為
所以由基到基的過渡矩陣 (5分)
(2)所以向量在基之下的座標為5分)
(3)由 (2)式有,則有,該方程組的通解為,對兩個基有相同座標的非零向量為,非零常數。 (5分)
二、(10分)設矩陣
計算:。
證3分)
令2分)
用去除,得
2分)則有 (1分)
由hamilton-cayley定理,於是
2分)三、(15分)證明:對於任意矩陣範數在向量空間上必存在與之相容的向量範數其中是維列向量。
證:1.非負性:(3分)
(1)(2)2. 齊次性:
(4分)
3. 三角不等式:
(4分)
4.相容性:
(4分)
從而,對於任意矩陣範數在向量空間上必存在與之相容的向量範數其中是維列向量。
四、(15分)設若存在一種矩陣範數使得則
證明:1.(5分)
2.(5分)
3.(5分)
五、(15分)設,求解常微分方程組的初值問題。
解:1. (2分)
2.令, (1分)
由 (4分)
3.(4分)
(4分)
六 、(8分)設分別為階實正交矩陣,。證明:
證明:根據加逆的定義直接驗證:
故有:七、(12分)假定
(1),求矩陣的滿秩分解; (4分)
(2),求; (4分)
(3),判斷方程組是否相容?若相容,求其最小範數解;若不相容,求其極小最小二乘解。(4分)
解: (1):,故矩陣的滿秩分解為:
。(2),
(3),因容易驗證,故方程組相容,最小範數解為
從而其極小最小二乘解為:
(10分)令
,。試用圓盤定理估計矩陣的特徵值分布範圍,並在復平面上畫出示意圖;為了得到更精確的結果,請利用矩陣的蓋爾圓盤來隔離矩陣的特徵值。
解:(1) 由矩陣蓋爾圓的定義,易求得三個蓋爾圓分別為:
3分) (2) 顯然,三個蓋爾圓有兩個在復平面上相交。(圖略)(4分)
(3)令。(6分)
於是此時可進一步求得的三個蓋爾圓分別為:。顯然,此時三個蓋爾圓兩兩不再相交。 (9分)
(4)因為,所以矩陣與具有相同的特徵值。因為,所以矩陣的特徵值分布在三個孤立圓盤中。(10分)
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