矩陣的定義及其運算規則
1、矩陣的定義
一般而言，所謂矩陣就是由一組數的全體，在括號（）內排列成m行n 列（橫的稱行，縱的稱列）的乙個數表，並稱它為m×n陣。
矩陣通常是用大寫字母a 、b …來表示。例如乙個m 行n 列的矩陣可以簡記為：，或
。即： （2-3）
我們稱（2-3）式中的為矩陣a的元素，a的第乙個註腳字母 ，表示矩陣的行數，第二個註腳字母j（j＝1，2，…，n）表示矩陣的列數。
當m＝n時，則稱為n階方陣，並用表示。當矩陣（aij）的元素僅有一行或一列時，則稱它為行矩陣或列矩陣 。設兩個矩陣，有相同的行數和相同的列數，而且它們的對應元素一一相等，即，則稱該兩矩陣相等，記為a＝b。
2、三角形矩陣
由i＝j的元素組成的對角線為主對角線，構成這個主對角線的元素稱為主對角線元素。
如果在方陣中主對角線一側的元素全為零，而另外一側的元素不為零或不全為零，則該矩陣叫做三角形矩陣。例如，以下矩陣都是三角形矩陣：
， ，， 。
3、單位矩陣與零矩陣
在方陣中，如果只有的元素不等於零，而其他元素全為零，如：
則稱為對角矩陣，可記為。如果在對角矩陣中所有的彼此都相等且均為1，如： ，則稱為單位矩陣。單位矩陣常用e來表示，即：
當矩陣中所有的元素都等於零時，叫做零矩陣，並用符號「0」來表示。
4、矩陣的加法
矩陣a＝（aij）m×n和b＝（bij）m×n相加時，必須要有相同的行數和列數。如以c＝（cij）m ×n表示矩陣a及b的和，則有：
式中：。即矩陣c的元素等於矩陣a和b的對應元素之和。
由上述定義可知，矩陣的加法具有下列性質（設a、b、c都是m×n矩陣）：
（1）交換律：a＋b＝b＋a
（2）結合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）
5、數與矩陣的乘法
我們定義用k右乘矩陣a或左乘矩陣a，其積均等於矩陣中的所有元素都乘上k之後所得的矩陣。如：
由上述定義可知，數與矩陣相乘具有下列性質：設a、b都是m×n矩陣，k、h為任意常數，則：
（1） k（a＋b）＝ka＋kb
（2）（k＋h）a＝ka＋ha
（3） k（ha）＝kha
6、矩陣的乘法
若矩陣乘矩陣，則只有在前者的列數等於後者的行數時才有意義。矩陣的元素的計算方法定義為第乙個矩陣第i行的元素與第二個矩陣第j列元素對應乘積的和。若：
則矩陣的元素由定義知其計算公式為：
（2-4）
【例2-1】 設有兩矩陣為：， ，試求該兩矩陣的積。
【解】由於a矩陣的列數等於b矩陣的行數，故可乘，其結果設為c：
其中：【例2-2】 已知：a＝，b＝，求a、b兩個矩陣的積。
【解】計算結果如下：
矩陣的乘法具有下列性質：
（1）通常矩陣的乘積是不可交換的。
（2）矩陣的乘法是可結合的。
（3）設a是m×n矩陣， b、c是兩個n×t矩陣，則有：a（b＋c）＝ab＋ac。
（4）設a是m×n矩陣，b是n×t矩陣。則對任意常數k有：k（ab）＝（ka）b＝a（kb）。
【例2-3】 用矩陣表示的某一組方程為：
（2-5）
式中： （2-6）
試將矩陣公式展開，列出方程組。
【解】現將（2-6）式代入（2-5）式得：
（2-7）
將上式右邊計算整理得：
（2-8）
可得方程組：
可見，上述方程組可以寫成（2-5）式的矩陣形式。上述方程組就是測量平差中的誤差方程組，故知（2-5）式即為誤差方程組的矩陣表示式。式中稱為改正數陣，稱為誤差方程組的係數陣，稱為未知數陣，稱為誤差方程組的常數項陣。
【例2-4】 設由n個觀測值列出r個條件式如下，試用矩陣表示。
【解】現記：
（2-9）
則條件方程組可用矩陣表示成：
（2-10）
上式中稱為條件方程組的係數陣，稱為改正數陣，稱為條件方程組的閉合差列陣。
第二章矩陣及其運算總結
1 矩陣及其運算 一 矩陣的基本概念 必考 矩陣，是由m n 個數組成的乙個m行n列的矩形 通常用大寫字母表示，組成矩陣的每乙個數，均稱為矩陣的元素，通常用小寫字母其元素表示，其中下標都是正整數，他們表示該元素在矩陣中的位置.比如,或表示乙個m n 矩陣，下標ij 表示元素位於該矩陣的第行 第列.元...
第二章矩陣及其運算 考研
1 已知線性變換 求從變數到變數的線性變換 解由已知 故 2 已知兩個線性變換 求從到的線性變換 解由已知 所以有3 設,求解 4 計算下列乘積 1 2 3 4 5 6 解 1 2 3 4 5 6 5 設,問 1 嗎?2 嗎?3 嗎?解 1 則 2 但故 3 而 故6 舉反列說明下列命題是錯誤的 若...
正交矩陣的作用
引言正交矩陣是一類重要的實方陣，由於它的一些特殊的性質，使得它在不同的領域都有著廣泛的作用,也推動了其它學科的發展.本文從正交矩陣的最主要的性質入手，來討論它的四點作用.首先，我們來了解一下正交矩陣的定義.一.正交矩陣的定義及性質 一 正交矩陣的定義 定義1 n階實矩陣a，若滿足，則稱a為正交矩陣....