矩陣的合同,等價與相似

一、矩陣的合同，等價與相似的定義、性質及判定條件

（一）矩陣的等價：

1、定義：若矩陣a可以經過有限次初等變換化為b，則稱矩陣a與b等價，記為。

2、性質：

（1）反身性：即.

（2）對稱性：若，則

（3）傳遞性：即若，，則

（4）若為矩陣，且，則一定存在可逆矩陣（階）和（階），使得.其中為階單位矩陣.

（5）設是兩矩陣，則當且僅當

3、判定：

矩陣等價的充要條件：

兩個矩陣等價的充要條件為：存在可逆的階矩陣與可逆的階矩陣，使

由矩陣的等價關係，可以得到矩陣與等價必須具備的兩個條件：

（1）矩陣與必為同型矩陣（不要求是方陣）.

（2）存在階可逆矩陣和階可逆矩陣, 使得.

（二）矩陣的合同：

1、定義：

兩個n階方陣a,b，若存在可逆矩陣p，使得成立，則稱a,b合同，記作該過程成為合同變換。

2、性質：

（1）反身性：任意矩陣都與自身合同.

（2）對稱性：如果與合同，那麼也與合同.

（3）傳遞性：如果與合同，又與合同，那麼與合同.

因此矩陣的合同關係也是等價關係，而且由定義可以直接推得：合同矩陣的秩等.

（4）數域f上兩個二次型等價的充要條件是它們的矩陣合同.

（5）複數域上秩為的二次型，可以用適當的滿秩線性變換化為標準形：

3、判定

定義2 設均為數域上的階方陣，若存在數域上的階可逆矩陣，使得,則稱矩陣為合同矩陣（若數域上階可逆矩陣為正交矩陣），由矩陣的合同關係，不難得出矩陣與合同必須同時具備的兩個條件

(1) 矩陣與不僅為同型矩陣，而且是方陣.

(2) 存在數域上的階矩陣,

（三）矩陣的相似

1、定義：

n階方陣a,b，若存在乙個可逆矩陣p使得成立，則稱矩陣a,b相似，記為。

2、性質：

性質3(1)反身性 ;

(2)對稱性由即得;

（3）傳遞性和即得

總之，合同是一種矩陣之間的等價關係，而且經過非退化的線性替換，新二次型的矩陣與原二次型矩陣是合同的.

(4)（其中是任意常數）；

(5）；

(6）若與相似，則與相似（為正整數）；

(7) 相似矩陣有相同的秩，而且，如果為滿秩矩陣，那麼.

即滿秩矩陣如果相似，那麼它們的逆矩陣也相似.

(8）相似的矩陣有相同的行列式；

因為如果，則有：

(9）相似的矩陣或者都可逆，或者都不可逆；並且當它們可逆時，它們的逆矩陣相似；

設，若可逆，則從而可逆.且與相似.

若不可逆，則不可逆，即也不可逆.

下面這個性質是乙個重要的結論，因此我們把它寫成以下定理

定理4 相似矩陣的特徵值相同.

推論3 相似矩陣有相同的跡.

3、判定：

設均為數域上階方陣，若存在數域上階可逆矩陣使得,則稱矩陣與為相似矩陣（若級可逆矩陣為正交陣，則稱與為正交相似矩陣）

由矩陣的相似關係，不難得到矩陣與相似，必須同時具備兩個條件

(1) 矩陣與不僅為同型矩陣，而且是方陣

(2) 在數域上階可逆矩陣，使得

二、矩陣的等價、合同和相似之間的聯絡

（一）由以上三種矩陣間的關係的定義，可以知道每一種矩陣關係存在所必須具備的條件，但是這三種關係彼此間存在著密切的聯絡

1、相似矩陣必為等價矩陣，等價矩陣未必為相似矩陣．

證明：設階方陣相似，由定義3知存在階可逆矩陣，使得，此時若記, ,則有,因此由定義1得到階方陣等價

反過來，對於矩陣,等價，但是與並不相似，即等價矩陣未必相似．

2、對於階方陣，若存在階可逆矩陣使,(即與等價)，且(為階單位矩陣)，則與相似．

證明：設對於階方陣與,若存在階可逆矩陣,使,即與等價．又知,若記,那麼,也即,則矩陣也相似．

3、合同矩陣必為等價矩陣，等價矩陣未必為合同矩陣．

證明：設階方陣合同，由定義2有，存在階可逆矩陣，使得，若記, ,則有因此由定義1得到階方陣等價

反過來對於矩陣,等價，但是與並不合同，即等價矩陣未必合同．

4、正交相似矩陣必為合同矩陣，正交合同矩陣必為相似矩陣．

證明：若存在乙個正交矩陣,即使得即，則有，即與合同.

同理，若存在乙個正交矩陣，即使得即與合同，則有

由此可得

1.相似陣、合同陣必為等價陣，但過來必成立

2.相似陣為正交相似，合同陣為正交合同時，相似與合同一致.

（二）但相似矩陣與合同矩陣有著一定的內在聯絡，如果兩者都具有反身性、對稱性和傳遞性，即兩者都是等價關係．另外，在一定條件下，兩者是等價的．若矩陣與正交相似，則它們既是相似也是合同的．對於相似與合同矩陣之等價條件有以下聯絡

1、如果與都是階實對稱矩陣，且有相同的特徵根．則與既相似又合同．

證明：設與的特徵根均為因為與階實對稱矩陣，則一定存在乙個階正交矩陣 q使得同理，一定能找到乙個正交矩陣使得從而有

將上式兩邊左乘和右乘,得

由於, ,

有,所以，是正交矩陣，由定理8知與相似．

2、若階矩陣與中只要有乙個正交矩陣，則與相似且合同．

證明：不妨設是正交矩陣，則可逆，取,有，則與相似，又知是正交陣，所以與既相似又合同．

3、若與相似且又合同，與相似也合同，則有與既相似又合同．

證明: 因為與,與相似，故存在可逆矩陣,，使,令,則且,故與相似．

又因為與合同，與合同,故存在可逆矩陣, 令而

故與合同．

三、矩陣的等價、合同和相似之間的區別

1、矩陣等價：a.同型矩陣而言

b.一般與初等變換有關

c.秩是矩陣等價的不變數，其次，兩同型矩陣相似的本質是秩相等

2、矩陣相似：a.針對方陣而言

b.秩相等是必要條件

c.本質是二者有相等的不變因子

3、矩陣合同：a.針對方陣而言，一般是對稱矩陣

b.秩相等是必需條件

c.本質是秩相等且正慣性指數相等，即標準型相同

由以上知，秩是矩陣等價的不變數；不變因子是矩陣相似的不變數；特徵值是可對角化矩陣相似的不變數，正負慣性指數是對稱矩陣合同的不變數，等價關係最弱、合同與相似是特殊的等價關係.由相似和合同一定可以推出等價，而反之不成立.相似與合同不可互推，需要一定的條件.

而且等價是經過有限次初等變換變得；相似不一定會都與對角陣相似，相似矩陣可看作是同一線性變換在不同基下的矩陣；合同可以通過二次型的非退化的線性替換來理解.

結束語：

矩陣中的這三種關係，在高等代數中是至關重要的，他們既包含著聯絡，又蘊涵著差別.相似矩陣、合同矩陣必為等價矩陣，等價矩陣不一定是相似矩陣也不一定是合同矩陣；相似為正交相似，合同為正交合同時，相似與合同一致；秩是矩陣等價的不變數；不變因子是矩陣相似的不變數，特徵值是可對角化矩陣相似的不變數，正負慣性指數是對稱矩陣合同的不變數.

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