(1)與等價:可以經一系列初等變換得
(同型,可逆.)判斷等價只需同型且秩相等.
(2)與相似:,可逆.
相似有四個必要條件:秩相同,特徵值相同,特徵多項式相同,行列式相同，如何判斷兩個一般的矩陣是否相似，考研大綱並不要求，但是如果相似於相同的對角陣，則由相似關係有傳遞性知相似.
(3)與合同(僅限於對稱矩陣): (可逆) 與的正負慣性指數相同.
判斷合同前提都是實對稱矩陣，然後判斷正負特徵值的個數是否完全相同，也即正負慣性指數相同即可.
注:合同等價
相似等價,例等價但不相似
在實對稱的前提下,相似合同.
【例1】 判定下列矩陣哪些等價，哪些相似, 哪些合同?
.【解】先看等價：，故等價.
再看相似：排除，考慮，的特徵值為，的特徵值為，從而排除僅僅考慮，的特徵值為，且二重特徵值對應兩個線性無關的特徵向量，相似於對角陣，從而相似.
最後看合同：合同僅限對稱陣，僅僅考慮，的特徵值為，的特徵值為，的正慣性指數為負慣性指數為，的正慣性指數也為負慣性指數為，合同.
【例2】 判斷,是否等價，相似,合同,?
【解】，二者等價；
為對稱陣一定相似於對角陣；從而一定合同於對角陣.
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