引言正交矩陣是一類重要的實方陣，由於它的一些特殊的性質，使得它在不同的領域都有著廣泛的作用,也推動了其它學科的發展.本文從正交矩陣的最主要的性質入手，來討論它的四點作用.
首先，我們來了解一下正交矩陣的定義.
一.正交矩陣的定義及性質
(一)正交矩陣的定義
定義1 n階實矩陣a，若滿足，則稱a為正交矩陣.
定義2 n階實矩陣a，若滿足，則稱a為正交矩陣.
定義3 n階實矩陣a，若滿足，則稱a為正交矩陣.
定義4 n階實矩陣a的n個行（列）向量是兩兩正交
的單位向量，則稱a為正交矩陣.
以上四個定義是等價定義.
(二)正交矩陣的性質
設a為正交矩陣，它有如下的主要性質.
<1>∣a∣=±1，a-1存在，並且a-1也為正交矩陣；
<2>a′，a*也是正交矩陣；
當∣a∣=1時，，即；
當∣a∣=-1時, ,即.
<3>若也是正交矩陣，則都為正交
矩陣.證明
<1>顯然
所以也是正交矩陣.
<2>，顯然為正交矩陣.
由， 當時，，即
當時，，即
所以為正交矩陣.
<3>由， 可知
故為正交矩陣.由<1>,<2>推知均為正交矩陣.
正交矩陣的性質主要有以上幾點，還有例如它的特徵值的模為1，且屬於不同特徵值的特徵向量相互正交；如果是它的特徵值，那麼也是它的特徵值等，這些性質這裡就不再證明了.
運用這些性質，我們來討論一下它在以下四方面的一些作用.
（一）正交矩陣**性代數中的作用
在正交矩陣中，有一類初等旋轉矩陣，我們也稱它為givens矩陣.這裡，我們將利用正交矩陣可以表示成若干初等旋轉矩陣的乘積，給出化歐氏空間的一組基為標準正交基的另一種方法.
設向量，令， ，則稱階矩陣
為初等旋轉矩陣.
初等旋轉矩陣，是由向量的第兩個元素定義的，與單位矩陣只在第行和第列相應的四個元素上有差別.
設是由向量定義的初等旋轉矩陣，則有如下的性質：
〈1〉是正交矩陣；
〈2〉設
則有 ；
〈3〉用左乘任一矩陣a， a只改變a的第行和行元
素（用右乘任一矩陣a，a只改變a的第列和列元素）.
證明 〈1〉，故，是正交矩陣.
〈2〉由的定義知，用左乘向量，只改變的第兩個元素，且
所以左乘，使的第個分量非負，第個分量為0，其餘分量不變.
〈3〉根據〈2〉及矩陣乘法立即可以得出此結論.
引理1 任何階實非奇異矩陣，可通過左連乘
初等旋轉矩陣化為上三角矩陣，且其對角線元素除最後乙個外都是正的.
定理1 設是階正交矩陣
若，則可表示成若干個初等旋轉矩陣的乘積，
即；若，則可以表示成若干個初等旋轉矩陣的乘積再右乘以矩陣，即，其中（i=1,2,…r）是初等旋轉矩陣.
證明由於是階正交矩陣，根據引理1知存在初等旋轉矩陣使這裡是階上三角陣，而且的對角線上的元素除最後乙個外都是正的，所以有
1由是正交矩陣和（1）式得
即2設 =其中， >0(i=1,2,…n-1)
則=由上式得
所以於是由（1）（3）式得
<1>當時，；
<2>當時， .
記，是初等旋轉矩陣，故定理1結論成立.
引理2 設其中是
階正交矩陣，是階上三角陣，是零矩陣.
利用以上的結論可得：
定理2 設，則可以通過左連乘初
等旋轉矩陣，把變為的形式，其中是階上三角陣，是矩陣.
證明由引理2知，其中是階正交矩陣，是階上三角陣，又根據定理1知：
其中是初等旋轉矩陣.
<1>當時，
<2>當時， 於是有
顯然，是階上三角陣，當時與除最後一行對應元
素絕對值相等、符號相反外，其餘元素對應相等.當時時，
，所以由<1>、<２>知本定理的結論成立.
設，，……，
是歐氏空間的子空間的一組基，記
是秩為的的矩陣.
若滿足定理2的條件，則存在初等旋轉矩陣，使
且由（４）（５）兩式知，對、做同樣的旋轉變換，在把化為的同時，就將化成了，而的前個列向量屬於子空間.
綜上所述可得化歐氏空間的子空間的一組基： 為一組標準正交基的方法為：
<1>由已知基為列向量構成矩陣；
<２>對矩陣施行初等旋轉變換，化為，同時就被化為正交矩陣，這裡是階上三角陣；
<３>取的前個列向量便可得的一組標準正交基.
顯然，上述方法是求子空間的一組標準正交基的另一種方法.
下面，我們通過例項說明此方法的應用.
例求以向量，，為基的向量空間的一組標準正交基.
解矩陣對分塊矩陣依次左乘，，
＝,=得=則，取，，
則就是由得到的的一組標準正交基.
(二)正交矩陣在拓撲和近世代數中的作用
全體n階正交矩陣作成的集合，記為，從代數和拓撲的角度來看，我們可以證明它構成一拓撲群，並且進一步證明它是不連通的緊緻lie群.
(1)構成拓撲群
在證明構成拓撲群之前，先介紹一下相關的概念.
定義5 設是任一集合，是的子集構成的子集族，且滿足：
1o 集合與空集屬於；
2o 中任意個集的並集屬於；
3o 中任意有窮個集的交集屬於；
稱是上的乙個拓撲，集合上定義了拓撲，稱是乙個拓撲空間.
定義6 設是乙個代數體系，若滿足：
1o ；
2o ；
3o ；
則稱是乙個群.
定義7 如果是乙個拓撲空間，並賦予群的機構，使得群的
乘法運算 u： ；
求逆運算 v： ；
是連續對映，就稱為拓撲群.
根據上面的定義，我們分三步來實現證明全體階正交矩陣作成的集合構成拓撲群.
〈1〉 全體階正交矩陣作成的集合構成一拓撲空間.
〈2〉 全體階正交矩陣作成的集合構成一群.
〈3〉 全體階正交矩陣作成的集合構成一拓撲群.
證明 〈1〉設表示所有具有實元素的階矩陣作成的集合，以a=表示的乙個代表元素.我們可以把等同於n2維歐氏空間，也就是將a=對應於的點.是點集的子集族，則和都屬於，中任意個集的並集屬於，中有窮個集的交集也屬於，可以驗證構成一拓撲空間，從而成為乙個拓撲空間.
是所有具有實元素的階正交矩陣，所以是的子集合，於是由的拓撲可以誘導出這個子集合的拓撲，從而構成的乙個子拓撲空間.
〈2〉1o 由於矩陣的乘法滿足結合律，所以
2o3o所以正交矩陣作成的集合對於乘法運算可構成一群.
〈3〉對於〈1〉中的拓撲空間的拓撲，定義矩陣乘法
m：設，則乘積m（a，b）的第個元素是.現在具有乘積空間個因子）的拓撲，對於任何滿足的，我們有投影對映，將矩陣a映為它的第個元素.合成對映，將a和b的乘積m（a，b）映為它的第個元素.
現在是a與b的元素的多項式，因此連續，投影對映是連續的，從而證明對映m是連續的.因為具有的子空間拓撲，是的乙個子拓撲空間，且由正交矩陣的性質〈3〉及上面的討論知，對映也是連續的.
中的矩陣可逆，定義求逆對映，.由於合成對映，將映為的第個元素，即的第個元素，由正交矩陣的性質〈2〉，，所以，即，a的行列式及a的代數余子式都是a內元素的多項式，且，所以為連續的，而投影對映為連續的，所以求逆對映為連續的.
至此，又是乙個拓撲空間，並且構成群，對群的乘法與求逆運算都是拓撲空間的連續對映，因而所有階正交矩陣作成的集合構成一拓撲群，稱它為正交群.
（2）是緊緻lie群
在證明之前我們知道一下有關的定義和定理.
定義8 設為拓撲群，的拓撲為維實（或復）解析
流形，且對映為解析流形到上的解析對映，則稱為維lie群.
定理3 歐氏空間內的有界閉集是緊緻子集.
證明 （所有具有實元素的階矩陣作成的集合），a對應維歐氏空間的點，可作為維歐氏空間.a的行列式deta為元素的解析函式，為的閉子集，因此為中的開子集.這時，按誘導拓撲可以知道為解析流形，且關於矩陣的乘法和求逆運算均解析，故為維lie群.
為的閉子集，按誘導拓撲為子流形，為lie群.
為了證明緊緻，根據定理內容，只要證明等同於時，相當於內的有界閉集.設 ，由於有
對於任意的，定義對映
則為下列各集合的交集
由於都是連續對映，所以上述每個集合都是閉集.因此是的閉集.由於，因此是的有界閉集，這就證明了的緊緻性.
在拓撲結構上是緊緻的lie群，我們稱為緊lie群，所以為緊lie群.
（3）是不連通的
定義9 設x是乙個拓撲空間，x中存在著兩個非空的閉子集a和b，使和成立，則稱x是不連通的.
證明我們再設是所有行列式為1的正交矩陣構成的集合，s為所有行列式為-1的正交矩陣構成集合.因為det：是連續對映，而我們知道單點集是的閉集，，在連續對映下，任何乙個閉集的原象也是閉集，所以也為閉集.
為的閉集,同理，我們也可以證明s是閉集.因為，,而和s是閉集，有不連通的定義我們可以直接證明是不連通的.
(三)正交矩陣在化學中的作用
在結構化學原子軌道雜化理論中，原子中能級相近的幾個原子軌道可以相互混合，從而產生新的原子軌道.雜化過程的數學表示式為，為新的雜化軌道，為參加雜化的舊軌道，為第個雜化軌道中的第個參加雜化軌道的組合係數.
在雜化過程中，軌道數是守恆的，並且雜化軌道理論有三條基本原則：
〈1〉雜化軌道的歸一性
雜化軌道滿足.
〈2〉 雜化軌道的正交性
.〈3〉 單位軌道貢獻
每個參加雜化的單位軌道，在所有的新雜化軌道中該軌
道成分之和必須為乙個單位，即=1.
由雜化軌道原理，原子軌道的雜化，實際是由一組相互正交的單位基向量，通過線性變換轉化成為另一組相互正交的單位基向量.**性代數中由一組標準正交基到另一組標準正交基的過渡矩陣是正交矩陣，那麼原子軌道的雜化，就可以轉化為求出正交矩陣，作線性替換的過程.
（1）雜化軌道.
以甲烷分子的結構為例，激發態碳原子的電子組態為：
，這樣在形成分子時，激發態碳原子的乙個2原子軌道和3個原子軌道進行雜化形成4個等同的雜化軌道.設在激發態碳原子中四個能量相近的原子軌道、、、是一組相互正交的基向量，再通過線性變換將它們轉化成另一組相互正交的基向量、、、，那麼線性變換係數矩陣a必為正交矩陣.
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