2023年高三數學第二輪專題複習——數列通項的求法
考綱要求：
1. 了解數列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、影象、通項公式）;
2. 能夠依據數列的前幾項歸納出其通項公式；
3. 會應用遞推公式求數列中的項或.通項；
4. 掌握已知的一般方法和步驟.
考點回顧：
回顧近幾年高考，對數列概念以及通項一般很少單獨考查，往往與等差、等比數列或者與數列其它知識綜合考查.一般作為考查其他知識的鋪墊知識，因此，如果這一部分掌握不好，對解決其他問題也是非常不利的.
基礎知識過關：
數列的概念
1.按照一定排列的一列數稱為數列，數列中的每乙個數叫做這個數列的 ，數列中的每一項都和他的有關.排在第一位的數稱為這個數列的第一項（通常也叫做 ）.
往後的各項依次叫做這個數列的第2項，……第n項……，數列的一般形式可以寫成其中是數列的第n項，我們把上面數列簡記為 .
數列的分類：
1.根據數列的項數，數列可分為數列、 數列.
2.根據數列的每一項隨序號變化的情況，數列可分為數列、 數列、 數列、
數列.數列的通項公式：
1.如果數列的可以用乙個公式來表示，那麼這個公式叫做這個數列的通項公式，通項公式可以看成數列的函式 .
遞推公式;
1.如果已知數列的首項（或者前幾項），且任意一項（或其前面的項）之間的關係可以那麼這個公式就做數列的遞推公式.它是數列的一種表示法.
數列與函式的關係：
1.從函式的觀點看，數列可以看成以為定義域的函式，當自變數按照從小到大的順序依次取值時，所對應的一列函式值，反過來，對於函式y=f(x)，如果f(i)(i=1,2,3,……)有意義，那麼我們可以得到乙個數列f(1),f(2),f(3)……f(n)……
答案：數列的概念
1.順序項序號首項
數列的分類
1.有限無限
2.遞增遞減常擺動
數列的通項公式
1.第n項與它的序號n之間的關係 =f(n) 解析式
遞推公式
1. 可以用乙個公式來表示
數列與函式的關係
1. 正整數集n*（或它的有限子集）
高考題型歸納：
題型1.觀察法求通項
觀察法是求數列通項公式的最基本的方法，其實質就是通過觀察數列的特徵，找出各項共同的構成規律，橫向看各項之間的關係結構，縱向看各項與項數之間的關係，從而確定出數列的通項.
例1. 已知數列，，，，，，…．寫出數列的乙個通項公式．
分析：通過觀察可以發現這個數列的各項由以下三部分組成的特徵：符號、分子、分母，所以應逐個考察其規律．
解析：先看符號，第一項有點違反規律，需改寫為，由此整體考慮得數列的符號規律是；再看分母，都是偶數，且呈現的數列規律是；最後看分子，其規律是每個分子的數比分母都小３，即．
所以數列的通項公式為．
點評：觀察法一般適用於給出了數列的前幾項，根據這些項來寫出數列的通項公式，一般的，所給的數列的前幾項規律性特別強，並且規律也特別明顯，要麼能直接看出，要麼只需略作變形即可.
題型2.定義法求通項
直接利用等差數列或等比數列的定義求通項的方法叫定義法，這種方法適應於已知數列型別的題目．
例2．等差數列是遞增數列，前n項和為，且成等比數列，．求數列的通項公式.
分析：對於數列，已知是等差數列，所以要求其通項公式，只需要求出首項與公差即可.
解析：設數列公差為
∵成等比數列，∴，
即由①②得：，
∴點評：利用定義法求數列通項時要注意不要用錯定義，設法求出首項與公差（公比）後再寫出通項.
題型3.應用與的關係求通項
有些數列給出{}的前n項和與的關係式=，利用該式寫出，兩式做差，再利用匯出與的遞推式，從而求出。
例3. 已知數列的前項和滿足．求數列的通項公式.
分析：由前n項和與的關係即可求得.
解析：由
當時，有
……，經驗證也滿足上式，所以
點評：利用公式求解時，要注意對n分類討論，但若能合寫時一定要合併．
題型4.利用遞推公式求通項
對於遞推公式確定的數列的求解，通常可以通過遞推公式的變換，轉化為等差數列或等比數列問題，有時也用到一些特殊的轉化方法與特殊數列.
型別1 遞推公式為
解法：把原遞推公式轉化為，利用累加法(逐差相加法)求解。
例4. 已知數列滿足，，求。
解析：由條件知：
分別令，代入上式得個等式累加之，即所以，
型別2 遞推公式為
解法：把原遞推公式轉化為，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例5. 已知數列滿足，，求。
解析：由條件知，分別令，代入上式得個等式累乘之，即
又，點評：由和確定的遞推數列的通項可如下求得：
由已知遞推式有， ，，依次向前代入，得
，簡記為 ，這就是疊（迭）代法的基本模式。
型別3.遞推式：
解法：只需構造數列，消去帶來的差異．
例6．設數列：，求.
解析：設，將代入遞推式，得
…（１）則,又，故代入（１）得
點評：（1）若為的二次式，則可設;(2)本題也可由 ,（）兩式相減得轉化為求之.
型別4 遞推公式為（其中p，q均為常數，）。 （或,其中p，q, r均為常數）
解法：該型別較型別3要複雜一些。一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：
引入輔助數列（其中），得：再應用型別3的方法解決。
例7. 已知數列中，,，求。
解析：在兩邊乘以得：
令，則,應用例7解法得：
所以型別5 遞推公式為（其中p，q均為常數）。
解法：先把原遞推公式轉化為
其中s，t滿足，再應用前面型別3的方法求解。
例8. 已知數列中，,,，求。
解析：由可轉化為
即或這裡不妨選用（也可選用），則是以首項為，公比為的等比數列,所以,應用型別1的方法，分別令，代入上式得個等式累加之，即
又，所以.
點評：已知數列的遞推公式求其通項公式，應用到的方法非常多，關鍵是要分析清楚所給出的遞推公式形式，然後選擇合理的變形.
題型5.待定係數法求通項
求數列通項公式方法靈活多樣，特別是對於給定的遞推關係求通項公式，觀察、分析、推理能力要求較高。通常可對遞推式變換，轉化成特殊數列（等差或等比數列）來求解，這種方法體現了數學中化未知為已知的化歸思想，而運用待定係數法變換遞推式中的常數就是一種重要的轉化方法.
例9.已知數列滿足，求數列的通項公式。
分析: 本題解題的關鍵是把遞推關係式轉化為，從而可知數列是等比數列，進而求出數列的通項公式，最後再求出數列的通項公式。
解析：設 ④
將代入④式，得，等式兩邊消去，得，兩邊除以，得代入④式得 ⑤
由及⑤式得，則，則數列是以為首項，以2為公比的等比數列，則，故。
點評：待定係數法求解數列的通項公式同函式中用待定係數法球函式解析式類似，它要求必須已知或者能夠由條件判斷出通項公式（解析式）的結構型別.
過關訓練:
通項公式的求法
一、 選擇題
1．已知數列1,,2,,3,,4,…,n,,…,則3是數列中的第（ ）
a．13項b．14項c．25項d．26項
2．設sn是數列的前n項和，且sk+sk+1=ak+1（k∈n+），那麼此數列是（ ）
a．遞增數列b．遞減數列c．常數列 d．擺動數列
3．某油廠今年生產油5噸，計畫以後每年比上一年增長16%，按照這個計畫生產下去，大約經過（ ）年，可以使該廠的年產量達到今年的9倍.
a．13b．14c．15d．16
4．在等差數列中，前n項和是sn,若m>n,sm=sn,則下列式子正確的是（ ）
a．am=anb．am+n=0c．=0d．sm+n=0
5. 若數列滿足若，則的值為
abcd
6.若數列滿足，則等於 （ ）
a.1b.2cd.
7.在數列中，，則
a.5b.-5c.1d.-1
8.已知數列滿足，則（ ）
a.20102009 b.20112010 c.20092008 d.20092009
9.已知數列的通項公式分別為，（a、b為常數）且a>b，那麼兩個數列中序號與數值均相同的項的個數為
a.0b.1c.2 d.3
10.已知等差數列的前三項為a-1,a+1,2a+3,則此數列的通項公式為 （ ）
a.2n-5 b.2n-3c.2n-1 d.2n+1
11.已知數列的通項公式為，則3
a.不是數列中的項 b.只是數列中的第二項
c.只是數列中的第六項 d.是數列中的第二項或者第六項
12.已知則數列是
a.遞增數列 b.遞減數列 c.常數列 d.擺動數列
二、填空題
13. 已知數列滿足，（２≤≤８），則它的通項公式＝ ．
14. 已知數列滿足，（≥2），則的通項
15. 已知是首項為１的正項數列，並且，則它的通項公式＝ ．
16. 若中, ,且(是正整數),則數列的通項公式＝ ．
三、解答題
17. 已知數列前n項和.
（1）求與的關係；（2）求通項公式.
數列求通項的方法 答案
一 觀察法 即不完全歸納法 當已知數列的前幾項時，即數列是以列舉法給出的 我們可以通過觀察數列的項數和項的關係得出通項公式。例1 1 分析 上面的數列可以變為 所以通項a 2 3 5 9 17 33 分析 上面的數列可以變為 2 1，2 1，2 1，2 1，2 1，所以通項a 2 1 二 公式法 當...
數列求通項公式的題型
典型題的技巧解法 1 求通項公式 1 觀察法。2 由遞推公式求通項。對於由遞推公式所確定的數列的求解，通常可通過對遞推公式的變換轉化成等差數列或等比數列問題。1 遞推式為an 1 an d及an 1 qan d，q為常數 例1 已知滿足an 1 an 2，而且a1 1。求an。例2 已知滿足，而，求...
數列求通項公式的常用方法
課題 一般數列求通項公式 1 一 明確目標 自主學習 掌握各種常用方法求有關數列通項公式 二 合作 問題解決 1.觀察歸納法 觀察法就是觀察數列特徵，找出各項共同的構成規律，橫向看各項之間的關係結構，縱向看各項與項數n的內在聯絡，從而歸納出數列的通向公式，然後利用數學歸納法加以證明即可。例1.根據數...