一、觀察法（即不完全歸納法）
當已知數列的前幾項時，（即數列是以列舉法給出的）我們可以通過觀察數列的項數和項的關係得出通項公式。
例1：（1）、，，，，，…
分析：上面的數列可以變為：，，，，，，…
所以通項a=
（2）、3、5、9、17、33…
分析：上面的數列可以變為：2+1，2+1，2+1，2+1，2+1，…
所以通項a=2+1
二、公式法
當已知數列的型別（如已知數列為等差或等比數列）時，可以設出首項和公差（公比），列式計算。
例2：（1）、已知等差數列，其前三項分別為a—1，a+2，a+5，求通項公式。
分析：由題意可得：首項a= a—1，公差d= a—a=3 所以根據等差數列的通項公式，得a= a—1+3（n—1）=3 n+a—4
（2）、已知等比數列，首項a=2，公比q=4，並且滿足b=a，求數列的通項公式
分析：因為是等比數列，所以由等比數列的性質可得：數列也是等比數列，並且首項 b＝a＝4，公比q＝16，根據等比數列的通項公式，得 b＝4 16＝4
三、利用前n項和與通項的關係
已知數列前n項和s n，求通項公式，利用
a n＝特別地，當n=1的值與s的值相同時，合併為乙個通項公式，否則寫成分段的形式。
例3：（1）、數列前n項和s＝2n—4n，求數列的通項公式。
分析：當n＝1時，s＝—2，當n2時，a＝ s—— s＝4n－6
又因為n＝1時的值與s的值相同，所以通項公式為 a＝4n－6
（2）、數列前n項和滿足log＝n+1，求數列的通項公式。
分析：由題意可得s=，所以，當n＝1時，s＝3， 當n2時，a＝s—— s ＝2，又n＝1時的值與s的值不相同，所以通項
a＝ 四、已知遞推關係式求通項公式
型別1：累加法(逐差相加法) 形如
例4:已知數列滿足，，求。
解：由條件知：
分別令，代入上式得個等式累加之，即
所以， 練習：已知數列滿足a=1，a=2+a，求數列的通項公式。
型別2 累乘法(逐商相乘法) 形如
解法：把原遞推公式轉化為，利用求解。
例5:已知數列滿足，，求。
解：由條件知，分別令，代入上式得個等式累乘之，即
又， 例6:已知， ，求。
解： 。
練習：（2004全國i理15）已知數列，滿足a1=1， (n≥2)，則的通項
解：由已知，得，用此式減去已知式，得當時，，即，又，
，將以上n個式子相乘，得
型別3形如（其中p，q均為常數，）。
解法構造法（待定係數法）：把原遞推公式轉化為：，其中，再利用換元法轉化為等比數列求解。
例7:已知數列中，，，求.
解：設遞推公式可以轉化為即.故遞推公式為,令，則,且.所以是以為首項，2為公比的等比數列，則,所以.
變式:（2006，重慶,文,14）
在數列中，若，則該數列的通項
（key:）
型別4 轉化法 ① 形如（其中p，q均為常數，）。 （或,其中p，q, r均為常數） 。
解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數列（其中），得：再待定係數法解決。
例8:已知數列中，,，求。
解：在兩邊乘以得：
令，則,解之得：
所以② 形如
解法：這種型別一般是等式兩邊取對數後轉化為，再利用待定係數法求解。
例9：已知數列｛｝中， ，求數列
解：由兩邊取對數得，
令，則，再利用待定係數法解得：。
③ 形如
解法：這種型別一般是等式兩邊取倒數後換元轉化為。
例10：已知數列｛an｝滿足：，求數列｛an｝的通項公式。
解：取倒數：
是等差數列，
練習:（2006，江西,理,22）
已知數列｛an｝滿足：a1＝，且an＝求數列｛an｝的通項公式；
解：（1）將條件變為：1－＝，因此｛1－｝為乙個等比數列，其首項為1－＝，公比，從而1－＝，據此得an＝（n1）
型別5 (特徵根法) 形如（其中p，q均為常數）。
解法：對於由遞推公式，給出的數列，方程，叫做數列的特徵方程。若是特徵方程的兩個根，當時，數列的通項為，其中a，b由決定（即把和，代入，得到關於a、b的方程組）；當時，數列的通項為，其中a，b由決定（即把和，代入，得到關於a、b的方程組）。
例11: 數列：，,求
解（特徵根法）：的特徵方程是：。,
。又由，於是
故練習1:已知數列中，, ,，求。
。練習2:（2006，福建,文,22）
已知數列滿足求數列的通項公式；
（i）解：
型別6週期型
解法：由遞推式計算出前幾項，尋找週期。
例12：若數列滿足，若，則的值為
練習:（2005，湖南,文，5）
已知數列滿足，則
a．0 b． c． d．
數列求通項公式的常用方法
課題 一般數列求通項公式 1 一 明確目標 自主學習 掌握各種常用方法求有關數列通項公式 二 合作 問題解決 1.觀察歸納法 觀察法就是觀察數列特徵，找出各項共同的構成規律，橫向看各項之間的關係結構，縱向看各項與項數n的內在聯絡，從而歸納出數列的通向公式，然後利用數學歸納法加以證明即可。例1.根據數...
數列求通項公式基本方法
常見遞推數列通項的求解方法 高考中的遞推數列求通項問題，情境新穎別緻，有廣度，創新度和深度，是高考的熱點之一。是一類考查思維能力的好題。要求考生進行嚴格的邏輯推理，找到數列的通項公式，為此介紹幾種常見遞推數列通項公式的求解方法。型別一 可以求和 累加法 例1 在數列中，已知 1，當時，有，求數列的通...
遞推數列求通項公式的典型方法
1 an 1 an f n 型 累加法 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 f n 1 f n 2 f 1 a1 例1 已知數列 an 滿足a1 1,an 1 an 2n n n 求an 解 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 2n 1 2n 2 21...