第七章機械能守恆定律
第1節追尋守恆量
第2節功
要點一能及其轉化與守恆的認識
能是描述物質(或系統)運動狀態的乙個物理量，是物質運動的一種量度．任何物質都離不開運動，在自然界中物質的運動是多種多樣的，相對於各種不同的運動形式，就有各種不同形式的能量．自然界中主要有機械能、熱能、光能、電磁能和原子能等．各種不同形式的能可以相互轉化，而在轉化過程中，能的總量是不變的，這是能的最基本的性質．
圖7－(1、2)－1為伽利略的理想斜面示意圖．伽利略發現：無論斜面b比斜面a陡些還是緩些，小球最後總會在斜面上的某點速度變為0，這點距斜面底端的豎直高度與它出發時的高度相同．這個過程中勢能先轉化為動能，動能又轉化為勢能，動能和勢能的總量保持不變，因此小球才能上公升到與出發點等高處．
圖7－(1、2)－1
能量守恆告訴我們，儘管物質世界千變萬化，但這種變化不是沒有規律的，基本的規律就是守恆定律，也就是說，一切運動變化無論屬於什麼形式，反映什麼樣的物質特性，都要滿足一定的守恆定律．機械能守恆定律是人們在認識到動能和勢能的具體形式，以及探索了它們之間能以一定的數量關係相互轉化之後建立起來的．
要點二對功的公式w＝flcos α的理解
1．f表示力的大小，l表示力的作用點相對於地面位移的大小，當力的作用點的位移與物體的位移相同時，也常常說是物體相對地面的位移大小，α表示力與位移方向間的夾角．
2．公式僅適用於求恒力的功．
3．計算功時首先要分清是求單個力做功還是求合力做功．
(1)求單個力做功時，某乙個力做的功，不受其它力的影響．例如從斜面上滑下的物體，重力對物體做的功與斜面是光滑的還是粗糙的沒有關係．
(2)求解合力做功時，有兩種方法，一種方法是合力做的總功等於各個力做功的代數和，另一種方法是先求出物體所受各力的合力，再用公式w總＝f合lcos α計算．
4．功是過程量，是力在空間的積累量．功只有大小，沒有方向，是標量．
5．實際計算時，不必生搬硬套公式w＝flcos α，一般通過分解力或分解位移的方法求解．
要點三關於正功、負功的理解
功是標量，但有正功、負功之分，功的正負既不表示大小，也不表示方向，只表示兩種相反的做功效果，即為動力功還是阻力功．
1．當0≤α<，cos α>0，w>0，力對物體做正功，力是物體運動的動力，使物體的動能增加．
2．當α＝時，cos α＝0，w＝0，表示力對物體不做功，力對物體既不起動力作用，也不起阻力作用，力沒有使物體的動能發生變化．
3．當<α≤π時，cos α<0，w<0，力對物體做負功(或者說物體克服阻力做功)，力是物體運動的阻力，使物體的動能減少．
對以上特別說明的是：當力對物體做負功時，常常說成「物體克服某力做功」，這兩種說法是等效的．
要點四變力做功的求法
1．圖象法
我們可以用圖象來描述力對物體做功的大小．以fcos α為縱座標，以l為橫座標．當恒力f對物體做功時，由fcos α和l為鄰邊構成的矩形面積，即表示功的大小，如圖7－(1、2)－2甲所示．
圖7－(1、2)－2
如果外力不是恒力，外力做功就不能用矩形表示．不過可以將位移劃分為等距的小段，當每一小段足夠小時，力的變化很小，就可以認為是恆定的，該段內所做功的大小即為此小段對應的小矩形的面積，整個過程外力做功的大小就等於全體小矩形面積之和，如圖7－(1、2)－2乙所示．
2．分段法(或微元法)
當力的大小不變，力的方向時刻與速度同向(或反向)時，把物體的運動過程分為很多小段，這樣每一小段可以看成直線，先求力在每一小段上的功，再求和即可．
圖7－(1、2)－3
例如：用水平拉力，拉著一物塊沿半徑為r的水平圓軌道運動一周，如圖7－(1、2)－3所示，已知物塊與軌道間的動摩擦因數為μ，物塊的質量為m，求此過程中摩擦力做的功．
由題意知，物塊受到的摩擦力在整個過程中大小不變為f＝μmg、方向時刻變化，是變力，把圓軌道分成l1、l2、l3、…、ln微小段，摩擦力在每一段上可視為恒力，則在每一段上做的功w1＝μmgl1，w2＝μmgl2，w3＝μmgl3，…，wn＝μmgln，摩擦力在一周內所做的功w＝w1＋w2＋w3＋…，wn＝μmg(l1＋l2＋l3＋…＋ln)＝μmg·2πr.
從上述例子，可得到大小恆定的空氣阻力、滑動摩擦力做功的大小，計算式為w＝－fl，其中l為路程．
3．平均值法
當力f的大小發生變化，但f、l成線性關係時，可以代入f的平均值計算f做的功．
例如：如圖7－(1、2)－4所示，
圖7－(1、2)－4
輕彈簧一端與豎直牆壁連線，另一端與一質量為m的物塊連線，物塊放在光滑的水平面上，彈簧的勁度係數為k，彈簧處於自然狀態，用水平力緩慢拉物塊，使物塊前進的位移為l，求這一過程中拉力對物體做了多少功？
緩慢拉動物塊，可認為物塊處於平衡狀態，故拉力等於彈力，大小為f＝kl.
因該力與位移成正比，可用平均力＝求功w＝·l＝kl2.
1.乙個力是否對物體做功，如何判斷？公式中w＝flcos α的位移l是以哪個物體為參考係的？
判斷乙個力對物體是否做功，可根據該力和物體位移方向的夾角是否為90°，或力與物體速度方向的夾角是否總是90°判斷．
例如：如圖7－(1、2)－5所示，
圖7－(1、2)－5
斜面體a放在光滑水平桌面上，物體b由光滑斜面的頂端從靜止開始下滑，由題意可知物體b下滑的同時，斜面體a將沿桌面向右運動，由圖可知，物體b所受斜面的彈力fn雖然垂直斜面，但它與物體b的位移l的夾角大於90°，所以彈力fn對物體b做負功．同理，b對a的彈力fn′對a做正功．
上述例子中b物體的位移l是以大地為參考係的，若誤以斜面為參考係，則會錯誤的判斷出fn對b不做功．公式中位移l必須是受力物體相對大地的位移．
2．摩擦力一定對物體做功嗎？一對相互作用力的功也一定相等嗎？
不一定．
(1)摩擦力做功有以下特點：
①靜摩擦力和滑動摩擦力都可以對物體做正功，也可以做負功，還可以不做功．
例如：汽車載著貨櫃加速前進，貨櫃與汽車間無相對滑動，則汽車施於貨櫃的靜摩擦力對貨櫃做正功，貨櫃施於汽車的靜摩擦力對汽車做負功；物體在水平轉台上隨轉台一起勻速轉動，物體與轉台間無相對滑動，則轉台施於物體的靜摩擦力對物體就不做功．
又如，將工件放在運轉中的傳送帶上，傳送帶施於工件的
滑動摩擦力將對工件做正功，而工件施於傳送帶的滑動摩擦力將對傳送帶做負功；物體在粗糙地面上滑動，物體施於地面的滑動摩擦力對地面就不做功．
②一對靜摩擦力做功的過程中，只有機械能的相互轉移(靜摩擦力起著傳遞機械能的作用)，而沒有機械能轉化為其他形式的能．一對滑動摩擦力做功的過程中，能量的轉化有兩種情況同時發生：一是相互摩擦的物體之間機械能的轉移；二是機械能轉化為內能．
③相互摩擦的系統內，一對靜摩擦力所做的功的總和等於零；一對滑動摩擦力所做的功的總和總是負值，其絕對值恰好等於滑動摩擦力與相對位移的乘積，即恰等於系統損失的機械能．
(其中，機械能、內能在後面將會學到)
(2)一對相互作用力做功的特點
①作用力與反作用力的特點：大小相等、方向相反，且作用在不同物體上．
②作用力、反作用力作用下的物體運動的特點：可能向相反方向運動，也可能向同一方向運動，也可能乙個運動，而另乙個靜止，還可能兩物體都靜止．
③由w＝flcos α不難判斷，作用力做的功與反作用力做的功，沒有必然的關係，可能相等，也可能不等；可能同為正功，也可能一正一負；可能乙個為零，另乙個不為零.
一、功的公式w＝flcos α的基本應用
例1 質量m＝3 kg的物體，受到與斜面平行向下的拉力f＝10 n，沿固定斜面下滑距離l＝2 m，斜面傾角θ＝30°，物體與斜面間的動摩擦因數μ＝.求各力對物體所做的功，以及力對物體所做的總功．(g取10 m/s2)
解析物體所受到的各個力均為恒力，
可用功的公式進行計算．
如右圖所示，物體受到重力、拉力、斜面的支援力和摩擦力的作用，做單向直線運動，其位移的大小與移動的距離相等．所以，重力所做的功為
wg＝mglcos α＝mglcos(90°－θ)
＝3×10×2×cos 60° j＝30 j
拉力所做的功wf＝fl＝10×2 j＝20 j
支援力與物體運動方向垂直，它所做的功wn＝0
滑動摩擦力的方向與位移方向相反，做功為
wff＝－(μmgcos θ)l＝－×3×10×2×j＝－30 j
總功w＝wg＋wf＋wn＋wff
＝30 j＋20 j＋(－30) j＝20 j
答案 wg＝30 j，wf＝20 j，wn＝0，wff＝－30 j w總＝20 j
方法總結
求力的功，首先對物體受力分析，明確求哪個力的功，如果此力是恒力，可應用w＝flcos α求功.
二、有關摩擦力的功的計算
例2 如圖7－(1、2)－6所示的水平傳送裝置，
圖7－(1、2)－6
ab間距為l，傳送帶以速度v勻速運轉．把一質量為m的零件無初速地放在傳送帶的a處，已知零件與傳送帶之間的動摩擦因數為μ，試求從a到b的過程中，摩擦力對零件所做的功．
解析要求摩擦力對零件做的功，關鍵是要弄清零件在摩擦力方向上的位移是多少．由於題中沒有給出各物理量之間的定量關係，故存在兩種可能．
當零件與傳送帶之間存在摩擦力時，摩擦力的大小為
f＝μmg.
分兩種情況進行討論：
(1)零件在到達b處時的速度小於或剛好等於傳送帶的速度v，零件在從a到b的過程中一直受摩擦力作用，則摩擦力對零件所做的功w＝fl＝μmgl.
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