2010—2011學年度上學期單元測試
高二數學試題（2）【湘教版】
必修5第3單元
全卷滿分150分，用時150分鐘。
說明：本試卷分第一卷和第二卷兩部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答題時間120分鐘。
一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請把正確答案的代號填在題後的括號內（每小題5分，共60分）。
1．若a0,則a、b、c、d的大小關係是
a．d2．不等式的解集為
ab．cd．3．在三個結論： ， ，其中正確的個數是
a．0b．1c．2d．3
4．目標函式，變數滿足，則有
ab． 無最小值
c．無最大值d．既無最大值，也無最小值
5．若關於的不等式對任意恆成立，則實數的取值範圍是（ ）
a． b． c． d．
6．設，則的最小值是
a．1 b．2c．3d．4
7．設x > 0, y > 0, ,， a 與b的大小關係
a．a >b b．a 8．若關於的不等式內有解，則實數的取值範圍是（ ）
a． b． c． d．
9．若時總有則實數的取值範圍是
a． b． c． d．
10．甲乙兩人同時同地沿同一路線走到同一地點，甲有一半時間以速度m行走，另一半時間以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m n，甲乙兩人誰先到達指定地點
a．甲b．乙c．甲乙同時到達 d．無法判斷
11．設不等式組所表示的平面區域是,平面區域是與關於直線對稱,對於中的任意一點a與中的任意一點b,的最小值等於
a． b．4c． d．2
12．設f(x)是奇函式，對任意的實數x、y，有則f(x)在區間[a,b]上
a．有最大值f (ab．有最小值f (a)
c． d．
二、填空題：請把答案填在題中橫線上（每小題6分，共24分）。
13．設
14．f(x)的圖象是如圖兩條線段，它的定義域是，
則不等式的解集
是15．函式的值域為
16．設a>0,b>0,稱為a，b的調和平均數。如圖，c為線段
ab上的點，且ac=a，cb=b，o為ab中點，以ab為直
徑做半圓。過點c作ab的垂線交半圓於d。鏈結od，
ad，bd。過點c作od的垂線，垂足為e。則圖中線段
od的長度是a，b的算術平均數，線段的長度是a,b
的幾何平均數，線段的長度是a,b的調和平均數。
三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟(共74分)。
17．（12分）設a>0, b>0，且a + b = 1，求證：
18．（12分）解關於x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0。
19．（12分）（1）設不等式2x－1＞m(x2－1)對滿足|m|≤2的一切實數m的取值都成立，求x的取值範圍。
（2）是否存在m使得不等式2x－1＞m(x2－1)對滿足|x|≤2的一切實數x的取值都成立。
20．（12分）設集合若，求實數a的取值範圍.
21．（14分）一變壓器的鐵芯截面為正十字型,為保證所需的磁通量,要求十字應具有的面積，問應如何設計十字型寬及長，才能使其外接圓的周長最短，這樣可使繞在鐵芯上的銅線最節省
22．（14分）某營養師要為某個兒童預定午餐和晚餐。已知乙個單位的午餐含12個單位的碳水化合物6個單位蛋白質和6個單位的維生素c；乙個單位的晚餐含8個單位的碳水化合物，6個單位的蛋白質和10個單位的維生素c.另外，該兒童這兩餐需要的營養中至少含64個單位的碳水化合物，42個單位的蛋白質和54個單位的維生素c.
如果乙個單位的午餐、晚餐的費用分別是2.5元和4元，那麼要滿足上述的營養要求，並且花費最少，應當為該兒童分別預定多少個單位的午餐和晚餐？
參***
一、選擇題
acdca dbada bb
二、填空題
13．；14．；15．；16．cd de。
三、解答題
17．證
∴18．解：當a＝0時，不等式的解為x＞1；
當a≠0時，分解因式a(x－)(x－1)＜0
當a＜0時，原不等式等價於(x－)(x－1)＞0，不等式的解為x＞1或x＜；
當0＜a＜1時，1＜，不等式的解為1＜x＜；
當a＞1時，＜1，不等式的解為＜x＜1；
當a＝1時，不等式的解為ф。
19． (1)解：令f(m)＝2x－1－m(x2－1)＝(1－x2)m＋2x－1，可看成是一條直線，且使|m|≤2的一切實數都有2x－1＞m(x2－1)成立。
所以，，即，即
所以，。
（2）令f(x)= 2x－1－m(x2－1)= －mx2+2x+(m－1)，
使|x|≤2的一切實數都有2x－1＞m(x2－1)成立。
當時，f(x)= 2x－1在時，f(x)。（不滿足題意）
當時，f(x)只需滿足下式：
或或解之得結果為空集。
故沒有m滿足題意。
20．解的意義是方程有解，且至少有一解在區間內，但直接求解情況比較多，如果考慮「補集」，則解法較簡單.
設全集且的兩根都在[1，4]內}
記 ∴方程的兩根都在[1，4]內
，∴所求實數a的取值範圍是
21．解：設由條件知:即
設外接圓的半徑為r，即求r的最小值，
等號成立時，
∴當時r2最小，即r最小，從而周長最小，
此時22．解：設該兒童分別預訂個單位的午餐和晚餐，共花費元，則。
可行域為
12 x+8 y ≥64
6 x+6 y ≥42
6 x+10 y ≥54
x≥0， x∈n
y≥0， y∈n
即3 x+2 y ≥16
x+ y ≥7
3 x+5 y ≥27
x≥0， x∈n
y≥0， y∈n
作出可行域如圖所示：
經試驗發現，當x=4,y=3 時，花費最少，為=2.5×4+4×3=22元．
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