同步練習-----等差數列
[重點]
等差數列的概念、等差數列的通項公式、等差數列的前n項和公式。
1． 定義：數列若滿足an+1-an=d(d為常數)稱為等差數列，d為公差。它刻劃了「等差」的特點。
2． 通項公式：an=a1+(n-1)d=nd+(a1-d)。若d，表示an是n的一次函式；若d=0，表示此數列為常數列。
3． 前n項和公式：sn= =na1+。若d0,表示sn是n的二次函式，且常數項為零；若d=0，表示sn=na1.
4． 性質：①an=am+(n-m)d。② 若m+n=s+t,則am+an=as+at 。特別地；若m+n=2p,則am+an=2ap。
5.方程思想：等差數列的五個元素a1、、d、n、an、sn中最基本的元素為a1和d，數列中的其它元素都可以用這兩個元素來表示。
函式思想：等差數列的通項和前n項和都可以認為是關於n的函式，因此數列問題可以借助於函式知識來解決。
[難點]
等差數列前n項和公式的推導，通項和前n項和的關係，能夠化歸為等差數列問題的數列的轉化。
如：an與sn關係：an=
此公式適用於任何數列。
化歸思想：把不熟悉的問題轉化成熟悉問題的數字思想。
一、選擇題
1．數列是首項為2，公差為3的等差數列，數列是首項為-2，公差為4的等差數列。若an=bn,則n的值為（ ）
（a）4 （b）5 （c）6 （d）7
2．關於等差數列，有下列四個命題
（1）若有兩項是有理數，則其餘各項都是有理數 （2）若有兩項是無理數，則其餘各項都是無理數 （3）若數列是等差數列，則數列也是等差數列 （4）若數列是等差數列，則數列也是等差數列
其中是真命題的個數為（ ）
（a）1 （b）2 （c）3 （d）4
3．在等差數列中,am=n,an=m,則am+n的值為（ ）
（a）m+nb）
（cd）0
4.在等差數列中，若a1+a4+a7=39,a2+a5+a8=33,則a3+a6+a9的值為（ ）
（a）30 （b）27 （c）24 （d）21
5．乙個直角三角形的三條邊成等差數列，則它的最短邊與最長邊的比為（ ）
（a）4∶5 （b）5∶13 （c）3∶5 （d）12∶13
6.數列的前n項和sn=n2+1是an=2n-1成立的（ ）
（a）充分但不必要條件 （b）必要但不充分條件
（c）充要條件d）既不充分又不必要條件
7．在1與25之間插入五個數，使其組成等差數列，則這五個數為（ ）
（a）3、8、13、18、23 （b）4、8、12、16、20
（c）5、9、13、17、21 （d）6、10、14、18、22
9.已知等差數列滿足a1+a2+……+a99=0,則（ ）
（a）a1+a99>0 （b）a2+a98<0 （c）a3+a97=0 （d）a50=50
10.若數列為等差數列，公差為，且s100=145，則a2+a4……+a100的值為（ ）
（a）60 （b）85 （c） （d）其它值
11．若a1,a2, ……,a2n+1成等差數列，奇數項的和為75，偶數項的和為60，則該數列的項數為（ ）
（a）4 （b）5 （c）9 （d）11
12．無窮數列1，3，6，10……的通項公式為（ ）
（a）an=n2-n+1 （b）an=n2+n-1
（c）an= （d）an=
13.已知數列的前n項和為an2+bn+c，則該數列為等差數列的充要條件為（ ）
（a）b=c=0 （b）b=0 （c）a、c=0 （d）c=0
14．已知數列的通項公式為an=(-1)n+1(4n-3),則它的前100項之和為（ ）
（a）200 （b）-200 （c）400 （d）-400
15．若數列由a1=2,an+1=an+2n(n)確定，則a100的值為（ ）
（a）9900 （b）9902 （c）9904 （d）9906
16．已知兩個數列3，7，11，…，139與2，9，16，…，142，則它們所有公共項的個數為（ ）
（a）4 （b）5 （c）6 （d）7
17．已知等差數列的公差為d,d0,a1d,若這個數列的前20項的和為s20=10m，則m等於（ ）
（a）a4+a16b）a20+d （c）2a10+d （d）a2+2a10
18.若關於x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(a)的四個根可以組成首項為的等差數列，則a+b的值為（ ）
（a） （b） （c） （d）
二、填空題
1． 數列中，a1=p,a2=q,an+2+an=2an+1，則a2n
2． 在等差數列中，已知a2+a7+a8+a9+a14=70,則a8
3． 在等差數列中，s4=6,s8=20,則s16
4． 在等差數列中，s3=s8,s2=sn,則n
5． 某露天劇場共有28排座位，第一排有24個，後一排比前一排增加兩個座位，則全劇場共有座位個。
6． 成等差數列的四個數之和為26，第乙個數與第四個數積為22，則這四個數為
7． 打一口深20公尺的井，打到第一公尺深處時需要40分鐘，從第一公尺深處打到第二公尺深處需要50分鐘，以後每深一公尺都要比前一公尺多10分鐘，則打到最後一公尺深處要用小時，打完這口井總共用小時。
8． 在等差數列中， =，則當sn最大時的n為
9.在項數為n的等差數列中，前三項之和為12，最後三項之和為132，前n項之和為240，則n
10．已知數列的通項公式an= ,bn=,則的前n項和為 。
三、解答題
1． 已知數列為等差數列，前30項的和為50，前50項的和為30，求前80項的和。
2． 已知數列的前n項和為sn=n2+c(c為常數)，求數列的通項公式，並判斷是不是等差數列。
3． 設等差數列的前n項和為sn,bn=，且a3b3=，s5+s3=21,求bn。
4． 已知數列為首項a10，公差為d0的等差數列，求sn=。
5． 求從1到100中所有不被3及5整除的整數之和。
6． 用分期付款方式購買家用電器一件，**為1150，購買當天先付150元，以後每月這一天都交付50元，並加付欠款的利息，月利率為1%，若交付150元以後的第乙個月開始算分期付款的第乙個月，問分期付款的第十個月該交付多少錢？全部貸款付清後，買這件家電實際花了多少錢？
7． 已知等差數列,a1=29,s10=s20,問這個數列的前多少項的和最大？並求最大值。
8.已知f(x)=x2-2(n+1)x+n2+5n-7
(1)設f(x)的影象的頂點的縱座標構成數列，求證：為等差數列。
(2)設f(x)的影象的頂點到x軸的距離構成，求的前n項和。
第七單元等差數列
一、選擇題
2. (1)真
假如是假命題，則其餘各項不都是有理數，則公差肯定是個無理數
乙個有理數加上乙個或n個無理數公差，肯定是無理數，不會存在兩個有理數，則為真
（2）假
例如當首項與公差相同時，第二項就是0，為有理數，而第三項有是無理數，
（3）真
（4）假。1 3 5….. 1 9 25….
3. 設公差為d
d=(am-an)/(m-n)=(n-m)/(m-n)=-1
a(m+n)=am+(m+n-m)d=am+nd=n-n=0
9．·n160°+
奇=。14．a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,…an-an-1=n,累加得an-a1=2+3+4+…+n,故an=
故4(n+1)=7k,由於4與7互質，令k=4t,t5,故n=7t-1,t=1,2,3,4,5時，出現公共項。
20．四根之和為2，則四根為。
a=得a+b=。
二、填空題
2.14 3.72 4.9 5.1428 6.2,5,8,11或11,8,5,2。 7。。
8．8或9a1+3d=-(a1+13d),得a1=-8d 由得
9．10
a1+a2+a3=12,an-2+an-1+an=132,相加得3（a1+an）=144,a1+an=48,求得sn==240,n=10。
10．。
三、解答題
1．s50-s30=a31+a32
+…+a50==30-50=-20。
∴a1+a80=-2 ∴s80=。
2．當n=1時，a1=s1=1+c
當n時，an=sn-sn-1=(n2+c)-[(n2+c)]-[(n-1)2+c]=2n-1。
∴an=
若c=0，an=2n-1,此時an-an-1=2(n)為等差數列。
若c0,c+11,不為等差數列。
3． 由①，得a1=d。由②，得8a1+13d=1。
故a1=d=1。
∴sn=
4. ∴sn=
=。5.設s表示從1到100的所有整數之和。s1表示從1到100中所在能被3整除的整數的和。
s2表示從1到100中所有能被5整除的整數的和。
s3表示從1到100中所有既能被3整除，又能被5整除的整數的和。
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