6-2等差數列
基礎鞏固強化
1.(2012·福州質檢)在等差數列中，a9＋a11＝10，則數列的前19項之和為( )
a．98 b．95 c．93 d．90
[分析] 由求和公式sn＝，及等差數列的性質a1＋a19＝a9＋a11可求解結果．
[答案] b
[解析] s19＝＝
＝＝95，故選b.
2．(文)已知等差數列的公差為d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，則m為( )
a．12 b．8
c．6 d．4
[答案] b
[解析] 由等差數列性質知，a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32，
∴a8＝8.
∴m＝8.故選b.
(理)已知數列是等差數列，a4＝15，s5＝55，則過點p(3，a3)，q(4，a4)的直線的斜率是( )
a．4 b.
c．－4 d．－143
[答案] a
[解析] ∵是等差數列，a4＝15，s5＝55，
∴a1＋a5＝22，∴2a3＝22，∴a3＝11.
∴kpq＝＝4，故選a.
3．(2011·山東東明縣月考)在等差數列中，已知a1＝2，a2＋a3＝13，則a4＋a5＋a6等於( )
a．40 b．42
c．43 d．45
[答案] b
[解析] ∵∴d＝3.
∴a4＋a5＋a6＝3a1＋12d＝42，故選b.
4．(2011·江西八校聯考)設數列為等差數列，其前n項和為sn，已知a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，若對任意n∈n*，都有sn≤sk成立，則k的值為( )
a．22 b．21
c．20 d．19
[答案] c
[解析] 設等差數列的公差為d，則有3d＝93－99＝－6，∴d＝－2；∴a1＋(a1＋3d)＋(a1＋6d)＝3a1＋9d＝3a1－18＝99，∴a1＝39，∴an＝a1＋(n－1)d＝39－2(n－1)＝41－2n.令an＝41－2n>0得n<20.5，即在數列中，前20項均為正，自第21項起以後各項均為負，因此在其前n項和中，s20最大．依題意得知，滿足題意的k值是20，選c.
5．設是遞減的等差數列，前三項的和是15，前三項的積是105，當該數列的前n項和最大時，n等於( )
a．4 b．5
c．6 d．7
[答案] a
[解析] ∵是等差數列，且a1＋a2＋a3＝15，∴a2＝5，
又∵a1·a2·a3＝105，
∴a1a3＝21，由及遞減可求得a1＝7，d＝－2，∴an＝9－2n，由an≥0得n≤4，∴選a.
6．已知數列滿足an＝則a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a99＋a100＝( )
a．4800 b．4900
c．5000 d．5100
[答案] c
[解析] 由條件知，數列an各項依次為：0,2,2,4,4,6,6，…，∴s100＝2×(2＋4＋6＋…＋100)－100＝5000.
7．(2012·湖南八模)等差數列的前n項和為sn，若s7－s3＝8，則s10一般地，若sn－sm＝a(n>m)，則sn＋m
[答案] 20，
[解析] s7－s3＝a4＋a5＋a6＋a7＝2(a4＋a7)＝2(a1＋a10)＝8，∴a1＋a10＝4，
∴s10＝＝20，
∵sn－sm＝am＋1＋am＋2＋…＋an＝a，
∴sn＋m＝(a1＋a2＋…＋am)＋(am＋1＋am＋2＋…＋an)＋(an＋1＋an＋2＋…＋an＋m)＝(n＋m)·＝.
8．(文)已知函式f(x)＝sinx＋tanx.項數為27的等差數列滿足an∈，且公差d≠0.若f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a27)＝0，則當k＝________時，f(ak)＝0.
[答案] 14
[解析] ∵f(x)＝sinx＋tanx為奇函式，且在x＝0處有定義，∴f(0)＝0.
∵為等差數列且d≠0，
∴an(1≤n≤27，n∈n*)對稱分布在原點及原點兩側，
∵f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a27)＝0，∴f(a14)＝0.
∴k＝14.
(理)(2011·南京一模)已知各項都為正數的等比數列中，a2·a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，則滿足an·an＋1·an＋2>的最大正整數n的值為________．
[答案] 4
[解析] 設等比數列的公比為q，其中q>0，依題意得a＝a2·a4＝4，又a3>0，因此a3＝a1q2＝2，a1＋a2＝a1＋a1q＝12，由此解得q＝，a1＝8，an＝8×()n－1＝24－n，an·an＋1·an＋2＝29－3n.由於2－3＝>，因此要使29－3n>，只要9－3n≥－3，即n≤4，於是滿足an·an＋1·an＋2>的最大正整數n的值為4.
9．(文)將正偶數按下錶排成5列：
那麼2014應該在第________行第________列．
[答案] 252 2
[解析] 通項an＝2n，故2014為第1007項，∵1007＝4×251＋3，
又251為奇數，因此2014應排在第252行，且第252行從右向左排第3個數，即252行第2列．
(理)已知an＝n的各項排列成如圖的三角形狀：
記a(m，n)表示第m行的第n個數，則a(31,12
a1a2 a3 a4
a5 a6 a7 a8 a9
[答案] 912
[解析] 由題意知第1行有1個數，第2行有3個數，……第n行有2n－1個數，故前n行有sn＝＝n2個數，因此前30行共有s30＝900個數，故第31行的第乙個數為901，第12個數為912，
即a(31,12)＝912.
10．(2012·濟南一模)已知數列的各項為正數，前n項和為sn，且sn＝，n∈n*.
(1)求證：數列是等差數列；
(2)設bn＝，tn＝b1＋b2＋…＋bn，求tn.
[分析] (1)欲證是等差數列，由sn＝及an＝sn－sn－1消去sn得到an與an－1的關係式，只要an－an－1＝常數即可獲證；
(2)將an代入sn＝可得sn，進而可得bn，由於sn是n的二次式，故求和可用裂項求和法．
[解析] (1)證明：∵sn＝，n∈n*，
∴n＝1時，s1＝，
∴a1＝1.
2an＝2(sn－sn－1)＝a－a＋an－an－1，
所以(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，∵an＋an－1>0，
∴an－an－1＝1，n≥2，所以數列是等差數列．
(2)由(1)an＝n，sn＝，
所以bn＝＝，
∴tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋
＝(1＝1－＝.
能力拓展提公升
11.(文)(2011·合肥一模)已知等比數列中，各項都是正數，且a1， a3,2a2成等差數列，則＝( )
a．1＋ b．1－
c．3＋2 d．3－2
[答案] c
[解析] 設等比數列的公比為q(q>0)，則由題意得a3＝a1＋2a2，即a1q2＝a1＋2a1q，
∵a1>0，∴q2－2q－1＝0，∴q＝1±.
又q>0，因此有q＝1＋，
∴＝＝q2＝(1＋)2＝3＋2，選c.
(理)設sn是等差數列的前n項和，若點o(0,0)，a(l，sl)，b(m，sm)，c(p，sp)(其中la．m＝p＋l b．2m＝p＋l
c．2p＝m＋l d．p＝m＋l
[答案] d
[解析] 依題意得＝(m－l，sm－sl)，＝(p，sp)，因為於與共線，所以有(m－l)sp＝p(sm－sl)，再設等差數列的公差為d，代入整理可得p＝m＋l，故選d.
[點評] 可取特殊等差數列驗證求解，如取an＝n.
12．(文)(2012·大綱全國理，5)已知等差數列的前n項和為sn，a5＝5，s5＝15，則數列{}的前100項和為( )
a. b.
c. d.
[答案] a
[解析] 本小題主要考查等差數列的通項公式和前n項和公式的運用，以及裂項求和的綜合應用．
∵a5＝5，s5＝15
∴＝15，即a1＝1.
∴d＝＝1，∴an＝n.
∴＝＝－.
則數列{}的前100項的和為：t100＝(11－＝.
故選a.
[點評] 本題亦可利用等差數列的性質，由s5＝15得5a3＝15，即a3＝3，再進一步求解．
(理)(2011·黃岡3月質檢)設數列是以2為首項，1為公差的等差數列，bn是以1為首項，2為公比的等比數列，則
a．1033 b．2057
c．1034 d．2058
[答案] a
[解析]
13．(2012·石家莊一模)已知等差數列的前n項和為sn，a4＋a7＋a10＝9，s14－s3＝77，則使sn取得最小值時n的值為( )
a．4 b．5 c．6 d．7
[答案] b
[解析] ∵a4＋a7＋a10＝9，∴a7＝3，
由得解之得
∴an＝2n－11，∴sn最小時，n＝5，故選b.
14．(2012·北京東城區綜合練習)若數列滿足－＝d(n∈n＋，d為常數)，則稱數列為調和數列，設數列{}為調和數列，且x1＋x2＋…＋x20＝200，則x5＋x16
[答案] 20
[解析] 由調和數列的定義可得，
xn＋1－xn＝d，
即是等差數列，
∴x1＋x2＋…＋x20＝10(x1＋x20)＝200，
∴x1＋x20＝20，
∴x5＋x16＝x1＋x20＝20.
15．(2012·東北三校二模)公差不為零的等差數列中，a3＝7，且a2、a4、a9成等比數列．
(1)求數列的通項公式；
(2)設an＝bn＋1－bn，b1＝1，求數列的通項公式．
[解析] (1)由條件知，
∴解之得
∴an＝3n－2.
(2)由條件知，b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝1＋a1＋a2＋…＋an－1
＝1＋＝，
∴bn＝.
16．(文)(2012·東北三省四市第二次聯考)已知等差數列滿足a4＝6，a6＝10.
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