［摘要］：本文根據初中數學問題的特徵，針對新課標的要求，對構造法在初中數學解題中有著重要的作用。從"構造方程、建構函式、構造圖形、構造矛盾"等幾個方面來敘述如何運用構造法解題。
通過運用構造法解題，是培養學生創造意識和創造新思維的重要手段之一，有利於提高學生的分析問題和解決問題的能力。它也是解決數學問題的基本思想方法之一。
［關鍵詞］：構造解題思維能力
所謂構造法就是根據題設條件或結論所具有的特徵和性質，構造滿足條件或結論的數學物件，並借助該物件來解決數學問題的思想方法。構造法是一種富有創造性的數學思想方法。運用構造法解決問題，關鍵在於構造什麼和怎麼構造。
充分地挖掘題設與結論的內在聯絡，把問題與某個熟知的概念、公式、定理、圖形聯絡起來，進行構造，往往能促使問題轉化，使問題中原來蘊涵不清的關係和性質清晰地展現出來，從而恰當地構造數學模型，進而謀求解決題目的途徑。下面介紹幾種數學中的構造法：
一、構造方程
構造方程是初中數學的基本方法之一。在解題過程中要善於觀察、善於發現、認真分析，根據問題的結構特徵、及其問題中的數量關係，挖掘潛在已知和未知之間的因素，從而構造出方程，使問題解答巧妙、簡潔、合理。
1、某些題目根據條件、仔細觀察其特點，構造乙個"一元一次方程" 求解，從而獲得問題解決。
例1：如果關於x的方程ax+b=2（2x+7）+1有無數多個解，那麼a、b的值分別是多少？
解：原方程整理得（a-4）x=15-b
∵此方程有無數多解，∴a-4=0且15-b=0
分別解得a=4，b=15
2、有些問題，直接求解比較困難，但如果根據問題的特徵，通過轉化，構造"一元二次方程"，再用根與係數的關係求解，使問題得到解決。此方法簡明、功能獨特，應用比較廣泛，特別在數學競賽中的應用。
3、有時可根據題目的條件和結論的特徵，構造出方程組，從而可找到解題途徑。
例3：已知3，5，2x，3y的平均數是4。 20，18，5x，-6y的平均數是1。求的值。
分析：這道題考查了平均數概念，根據題目的特徵構造二元一次方程組，從而解出x、y的值，再求出的值。
二、構造幾何圖形
1、對於條件和結論之間聯絡較隱蔽問題，要善於發掘題設條件中的幾何意義，可以通過構造適當的圖形把其兩者聯絡起來，從而構造出幾何圖形，把代數問題轉化為幾何問題來解決．增強問題的直觀性，使問題的解答事半功倍。
例4：已知，則x 的取值範圍是（）
a 1≤x≤5 b x≤1 c1＜x＜5 d x≥5
分析：根據絕對值的幾何意義可知：表示數軸上到1與5的距離之和等於4的所有點所表示的數。
如圖3，只要表示數的點落在1和5之間（包括1和5），那麼它到1與5的距離之和都等於4，所以1≤ x≤5，故選a。
2、在解幾何題時，借助有關性質，巧妙構造，可迅速找到解題途徑，不僅能使問題化難為易，迎忍而解，而且有助於提高學生的數學思維能力和幾何證題能力。
例5：如圖，在△abc中，∠b=2∠c，∠bac的平分線交bc於點d。求證：ab＋bd＝ac
分析：若遇到三角形的角平分線時，常構造等腰三角形，借助等腰三角形的有關性質，往往能夠找到解題途徑。因此，延長cb到點f，使bf=ab，連線af，則△baf為等腰三角形，且∠f=∠1.
再根據三角形外角的有關性質，得出∠abd=∠1+∠f , 即∠abd=2∠1=2∠f，而∠abd=2∠c，所以∠c=∠1=∠f ， △afc為等腰三角形，即af=ac，又可得△fad為等腰三角形,因此 ，af=df=db+bf=db+ab,即ab＋bd＝ac。
三、建構函式模型，解數學實際問題
在解答數學實際問題時，引進數學符號，根據已知和未知之間的關係，將文字語言轉化為數學符號語言，建立適當的函式關係式（考慮自變數的取值範圍）。再利用有關數學知識，解決函式問題。這樣既可深入函式內容的學習，也有利於增強學生的思維能力和解題實踐能力。
例6：（八年下課本習題變式）某工廠現有甲種原料360千克，乙種原料290千克，計畫利用這兩種原料生產a、b兩種產品，共50件。已知生產一件a種產品，需用甲種原料9千克、乙種原料3千克，可獲利潤700元；生產一件b種產品，需用甲種原料4千克、乙種原料10千克，可獲利潤1200元。
（1）按要求安排a、b兩種產品的生產件數，有哪幾種方案？請你設計出來；
（2）設生產a、b兩種產品獲總利潤為y（元），生產a種產品x件，試寫出y與x之間的函式關係式，並利用函式的性質說明（1）中哪種生產方案獲總利潤最大？最大利潤是多少？
解；（1）設需生產a種產品x件，那麼需生產b種產品（50-x）件，由題意得：
解得：30≤x≤32
∵ x是正整數
∴ x＝30或31或32
∴有三種生產方案：①生產a種產品30件，生產b種產品20件；②生產a種產品31件，生產b種產品19件；③生產a種產品32件，生產b種產品18件。
（2）由題意得；y＝700x+1200（50-x）=-500x+60000
∵ y隨x的增大而減小
∴當x＝30時，y有最大值，最大值為：＝45000（元）
答：y與x之間的函式關係式為：y＝-500x+60000，（1）中方案①獲利最大，最大利潤為45000元。
四、構造矛盾法
構造矛盾法即構造反例。所謂反例就是符合命題條件而又不符合命題結論的例子。這種例子推倒出命題的矛盾，有力地否定了命題成立的可能性。
例7：設a，b，c都是實數，考慮如下命題：
（1）若a+ab+c＞0，且c＞1，則0＜b＜2；
（2）若c＞1，且0＜b＜2，則a+ab+c＞0；
（3）若0＜b＜2，且a+ab+c＞0，則c＞1；
試判斷哪些命題正確，哪些命題不正確。對你認為正確的命題給出證明；認為不正確的命題，用反例予以否定。
分析：命題（1）不正確，構造反例如下：
令b=4，c=5，此時a+ab+c=a+4a+5=（a+2） +1＞0且c＞1，滿足條件，但結論0＜b＜2不成立。
命題（2）成立。證明：a+ab+c=a+2（0.5b）a+（0.5b）-（0.5b）+ c=（a+0.5b） +(c-0.25b)
因為0＜b＜2，所以 0＜0.25b＜0.5且c＞1，c-0.25b＞0，因此a+ab+c=（a+0.5b） +(c-0.25b)＞0. 即命題成立。
命題（3）不成立。令b=1，c=0.5，此時0＜b＜2，且a+ab+c=a+a+0.5=（a+0.5） +0.25＞0，滿足條件，但結論c＞1不成立。
綜上所述，構造法在數學問題的解決中，不僅顯得靈活、簡便，，而且也往往是發現問題，找到解決問題途徑、方法的鑰匙。在平時教學中，學生在掌握基礎知識之餘，應加強啟發式的教學。我們可從多角度啟發學生思維多變，從而培養學生發散思維。
也可培養學生創新能力、實施素質教育的重要載體。
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