在數學解題中模擬法的應用
長沙市第七中學孫賢忠
【摘要】：所謂模擬（即模擬推理）就是依據兩個物件的已知相似性，有可能把乙個（數學）物件的特殊知識轉移到另乙個數學物件上去，從而獲得對後乙個物件的新知識。
【關鍵詞】：模擬推理, 平面與空間的模擬, 數與形的模擬, 解題方法上的模擬,有限與無限的模擬等.
正文:「模擬是乙個偉大的引路人」（波利亞）。「每當理智缺乏可靠論證的思路時，模擬這個方法往往能指引我們前進」（康德）。
所謂模擬（即模擬推理）就是依據兩個物件的已知相似性，有可能把乙個（數學）物件的特殊知識轉移到另乙個數學物件上去，從而獲得對後乙個物件的新知識。
在數學解題過程中，當我們的思維遇到障礙時，運用模擬推理，往往能實現知識的正遷移，將已學過的知識或已掌握的解題方法遷移過來，「柳暗花明又一村」。例如：
已知：x,y,z 均為正實數
求證：分析：本題好像無從著手，但我們從整體上觀察結論知：「三角形兩邊之和大於第三邊」與其相似，而被開方式與餘弦定理相模擬，從而設法構造乙個三角形，用幾何知識證明。
證明：作,如圖，
aob=boc=coa=
令oa=x, ob=y, oc=z
由餘弦定理可得:
ab=ac= bc=
ab+ac>bc 故原式得證。
可見，模擬在數學解題中有著十分重要的作用。
模擬推理可用如下圖式描述：模擬根據
其中分別與相同或相似，
推論：b類物件也具有與d相同或相似的屬性d'。
我們知道正三角形內任一點p到各邊距離之和為常數。分別從三條邊相等與三個角相等模擬，「在各邊相同的凸多邊形內任一點p到各邊距離之和為常數」和「在各角相等的凸多邊形內任一點p到各邊距離之和為常數」。可以證明這兩個命題都是正確的（利用面積法證明）。
常用的模擬有：
1、平面與空間的模擬
把立體幾何知識與相關的平面幾何知識模擬，是實現知識遷移的有效方法，也利於化難為易，啟迪思維。
如，關於勾股定理，可有幾個模擬：
勾股定理：在直角邊長為a,b，斜邊長為c的直角三角形中，有
模擬1：長、寬、高分別為p,q,r,對角線長為d的長方體中，有
模擬2：長方體交於某一頂點的三個長方形面的對角線長分別為p,q,r,長方體對角線長為d，則有
模擬3：四面體交於乙個頂點o的三條稜兩兩互相垂直，與o相鄰的三個面的面積分別為a，b，c，與o相對的面的面積為d，則有：
2、數與形的模擬
在數學研究中，數與形的模擬經常在相反的方向上得到應用。即通過與「形」的比較去推測「數」的有關性質，又通過與「數」的比較去推測「形」的有關性質。
例：已知求k的值。
分析：模擬兩直線
l1:ax+by+c=0與 l2：（b+c）x+(c+a)y+(a+b)=0重合
則有（a+b+c）(x+y)+(a+b+c)=0
又例：k為何值時，方程組
①有一組解？ ②兩組解？ ③無解？
利用數與形模擬，解法直觀，簡單明瞭。
方程組有一組解，即直線與半圓只有乙個交點；有二組解，即直線與半圓有兩個交點；無解，即直線與半圓無交點。
所以，當時有兩解；
當時有一組解；
當時無解。
再例：過正方形abcd的頂點c作任一直線與ab、ad的延長線分別與e、f，求證ae+af4ab
分析：原結論稍加變形為（ae+af）24ab（ae+af）
模擬二次方程判別式 ，構造一元二次方程。
證：如圖，設ab=，ae=x, af=y
,即 ∴xy-a(x+y)=0, 又設x+y=m,
則y=m-x.
代入xy-a(x+y)=0,
得:x2-mx+ma=0
∵x為正實數，∴△=m2-4ma0，即m4a
∴ae+af4ab
3、解題方法上的模擬
例：若求證：2y=x+z(即x,y,z成等差數列)
分析：通過模擬，模擬為一元二次方程的根與係數的關係來解，構造一元二次方程
因為1是方程的解，所以方程有兩相等實根，都為1。
由韋達定理，兩根之積為
4、有限與無限的模擬
例：因為圓可看成是正多邊形當邊數趨於無窮時的極限情形。因此，依據「三角形的面積等於底與高的乘積的一半」的結論，可證：
正多邊形的面積等於周長與邊心距乘積的一半。從而模擬出：圓的面積等於其周長與半徑乘積的一半，即，顯然正確。
當然，模擬結果的正確性必須經嚴格的邏輯證明，「未加證明的結論（猜想）與真理是有本質區別的」。如「平面上，垂直於同一條直線的兩條直線互相平行」，類推到空間，命題顯然不成立。
參考書藉: 1) 新人教版a必修1,2,4,5;
2)《中學數學教學論》,李求來編著;
3)《高中數學解題思想與解題方法》;
4) 高中教輔資料之《學海導航》.
2023年12月20日星期一
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