從小學到中學，數學課程最顯著的變化，就是從算術學習到代數和幾何的學習．僅就代數來說，它的基本課題是著眼於利用運算來討論各種數學問題．從發展的角度看，代數學是在「數」與「運算」的基礎上有系統地發展起來的．首先擴大了數的範圍，從正整數、正分數和零發展到有理數、實數；其次，在用字母表示數的基礎上，應用「運算律」解代數方程和研究代數式．由於在常見的數量關係中，可以說應用問題是最基本的討論物件，因此，在小學和中學的數學課中，都有解應用問題這一內容．只不過在小學是用「算術解法」，而在中學是用「代數解法」．下面舉幾個典型例項，來比較一下這兩種解法的不同，從而進一步體會代數解法的優越性．
例1 某農場計畫播種小麥與大豆共138公頃，種小麥的面積是種大豆面積的4倍．試問該農場應種小麥與大豆各多少公頃？
算術解法由本題所給的條件可知，播種總面積等於種大豆面積的(4+1)倍，因此種大豆的公頃數=總播種公頃數÷(4+1)，
種小麥的公頃數=總播種公頃數-種大豆的公頃數，即
138÷(4+1)=27.6(公頃)，
138-27.6=110.4(公頃)．
即應種大豆27.6公頃，小麥110.4公頃．
代數解法用乙個字母x表示要求的乙個未知量，例如，設種大豆x公頃；再由題目的條件可知，種小麥4x公頃．因此，只要根據關係式
總播種公頃數=種小麥公頃數+種大豆公頃數
和已知條件「總公頃數為138」，就可以直截了當地寫出以下等式(含有未知數的等式，也叫方程)
4x+x=138．
由於x是乙個未知數，但它終歸是乙個數，所以可以對它應用運算律．為此，我們對上式做如下變形
(4+1)x=138，
即 5x=138．
兩邊同除以5，得
x=27.6(公頃)．
從而 4x=4×27.6=110.4(公頃)．
即種大豆27.6公頃，種小麥110.4公頃．
比較分析本題的算術解法中，要求對題意進行思考，先求得解決問題的公式，然後再逐步地對公式中的計算找出解釋的理由，從而作出解答．而代數解法，只要求用字母x表示待求的未知量，再考慮待求的未知量x與已知數量之間的關係，然後直截了當地列出乙個等式，再應用運算律(或等式的基本性質)，求出這個未知數x應取的數值，使問題得到解決．
例2 雞兔同籠．共有56個頭，160隻腳，試問雞、兔各多少只？
算術解法這是乙個古老而有趣的數學問題，由於思考方法不同，可有不同的解法，以下是較為簡單的解法．由於已知雞、兔共160隻腳，如果我們假定每只兔抬起2隻腳，每只雞抬起乙隻腳，則落地的腳是160只的一半，即80隻腳．這80隻腳中雞的腳數與頭數相等．因此，
兔數為： 80-56=24(只)；
雞數為： 56-24=32(只)．
代數解法設兔為x只，則雞為(56-x)只，兔的腳數為4x，雞的腳數為2(56-x)，又由已知條件，雞兔一共有160隻腳，可列出方程
4x+2(56-x)=160．
去括號4x+112-2x＝160，
合併同類項
4x-2x＝160-112，
即 2x=48，
所以 x=24(只)…兔數．
從而 56-24=32(只)…雞數．
比較分析本題算術解法中，根據題設特點，利用了乙個特殊技巧，即雞、免各抬起一半腳，然後依據其餘腳數中，雞的腳數與頭數一一對應關係，得到解答．這種解法雖然有效，但不具有一般性，這也是算術解法的乙個弱點，即乙個問題一種解法，缺乏一般的通用性．而代數解法則不同，在本題中，只須用乙個字母x代表兔(或雞)的數量，然後便可根據已知條件，順理成章地找出等量關係，列出方程．下一步解方程求未知數x的值，只是進行變形和運算，不需要什麼特殊技巧．因此，代數解法具有一般性，這也是它優於算術解法之所在．
在前面的兩例中，雖然比較分析了應用問題的算術解法和代數解法的特點，但對兩者的聯絡未作進一步的**，下面通過例3，初步討論一下這個問題．
例3 設有5元和10元的人民幣共12張，共計85元，問其中5元、10元的人民幣各幾張？
算術解法假如全部是5元的人民幣，則共計
5×12=60(元)，
與總和相差
85-60=25(元)．
現在讓我們逐次用一張10元的票子去換一張5元的票子，使得總張數保持不變，每換一次，總值將增加
10-5=5(元)．
那麼換幾次才能補足總差額25元呢？這只要做一次除法就行了，即25÷5=5．所以答案是
10元人民幣的張數=(85-60)÷(10-5) ①
=25÷5＝5．
5元人民幣的張數=12-5=7．
代數解法設10元人民幣的張數為x，則5元人民幣的張數為(12-x)，其中x是乙個待求的未知數，在此它只是10元人民幣張數的簡寫，利用上述未知數符號，根據
10元人民幣的總元數+5元人民幣的總元數=85，則可寫出下列方程
10x+5(12-x)=85． ②
以下的工作便是用「運算律」和「等式的性質」解出方程②的x值，就可得到解答了．
用分配律，去掉②中之括號，得
10x+5×12-5x＝85，
由交換律、分配律得
(10-5)x+60＝85，
由等式性質，兩邊同減60，得
(10-5)x=85-60，
等式兩邊同除以(10-5)，得
x=(85-60)÷(10-5)=5． ③
比較分析在代數解法中，我們先引進乙個未知數x，表示問題中待求的量(如10元人民幣的張數)，然後把未知數代入問題中，列出方程，再用運算律和等式的性質，求出方程中未知量x的值．在本例中，方程②的解就是③式
x=(85-60)÷(10-5)=5．
容易看出，算術解法其實就是上面由代數方程②所得的求值公式③，然後對於公式③中的每一步進行計算：
60=5×12，
85-60=25，
10-5=5，
(85-60)÷(10-5)＝25÷5=5．
並對每一步計算找出合適的理由加以解釋就是了．
同學們可能會問，在算術解法中，怎麼會發現求值公式①呢？對這個問題的回答，大體有兩種可能：
第一種可能是先用代數解法，由②求得公式①，但由於小學還沒有學習代數，所以只好耐心地對①式中的每一步計算，結合題意加以解釋，使同學們了解算術解法的合理性．
第二種可能是對上述實際問題，做了一番歸納的工作，就是：假如12張人民幣都是5元的，則12×5=60；假如11張為5元，1張為10元，則11×5+10=65；假如10張為5元，2張為10元，則10×5+2×10=70；以此類推，不難發現當10元人民幣的張數由0逐次加1時，總金額由60開始逐次加乙個5，而①式就是這個意思．
把兩種解法加以比較可以看出，算術解法的準備工作，對於給定型別的問題，先做一番實驗歸納工作，從而求得解決該類問題的公式，或合理的有順序的計算步驟，然後還要逐步對公式中的計算找出理由加以解釋．顯然，這樣做是缺乏普遍性的．
而代數解法的準備工作是引入未知數符號，把問題中的數量關係，特別是等量關係用代數方程表示出來，然後再利用「運算律」和「等式性質」，求出方程中未知量應有的值，所以代數解法直截了當、簡捷明快，具有高度普遍性．
一般說來，算術解法的公式和理由，由問題的型別不同而不同．但代數解法的基本原理就是有效地利用了「運算律」和「等式性質」，所以這種解法不僅具有普遍性，也具有統一性．
例4 有兩個圖書館，自建館以來，每年各進圖書5千冊，如果今年甲館藏書23萬冊，乙館藏書11萬冊，今後仍然是每年各進圖書5千冊，試問由今年起，什麼時候甲館藏書是乙館的3倍？
下面用代數解法來解本題，以便從中進一步體會它的普遍性．
解設由今年起x年後甲館藏書是乙館的3倍，則有代數方程
(23+0.5x)=3(11+0.5x)．
利用分配律得
23+0.5x=33+1.5x，
兩邊同減0.5x得
23=33+1.5x-0.5x，
兩邊同減33得
23-33=1.5x-0.5x，
利用分配律得
23-33=(1.5-0.5)x， -10＝x，
即x=-10·
這就是說從今年起，10年前甲館藏書已是乙館藏書的3倍．
由此可見，代數解法，由於用字母表示了數，所以對所求的結果用正、負數的意義加以解釋，就得到了這一問題的答案．這也就說明了代數解法比算術解法更具有普遍性．
練習二十
1．試用代數解法解下列應用題，再思考一下用算術解法怎麼解？
(1)乙個公司把它存貨的60％用現金**，25％用記賬**，15％用支票**．如果支票**的錢比記賬**的錢少4000元，那麼現金**的錢是多少？
(2)有糖塊若干，要分給班上的同學，如果每人4塊，則餘14塊，如果每人5塊，則又少15塊，試問班上共有多少人？共有多少塊糖？
2．製造一種零件第一道工序每人每小時可做5件，第二道工序每人每小時可做3件，現在有工人40人，如何分配勞動力才能使生產配套？
3．某生產隊春播2000公頃小麥，每天比預計多播50公頃，因此提前2天完成，求實際播種天數．
4．木樑重90千克，比木梁長2公尺的鐵梁重160千克，已知每公尺木樑比鐵梁輕5千克，求兩根梁的長．
應用問題的算術解法與代數解法
例1 某農場計畫播種小麥與大豆共138公頃，種小麥的面積是種大豆面積的4倍 試問該農場應種小麥與大豆各多少公頃？算術解法由本題所給的條件可知，播種總面積等於種大豆面積的 4 1 倍，因此種大豆的公頃數 總播種公頃數 4 1 種小麥的公頃數 總播種公頃數 種大豆的公頃數，即 138 4 1 27.6 ...
關於追及問題的解法
教學目的 1 借助 線段圖 分析複雜問題中的數量關係。2 能用一元一次方程解決實際生活中的相遇 追及問題。3 培養學生的分析 解決問題能力。教學重點 運用方程解決實際問題。教學難點 能畫出 線段圖 分析行程中的等量關係。教學過程 一 匯入 同學們！你家離學校大約幾公尺？平時上學你需要幾分鐘？點名學生...
出圈問題的鍊錶解法
出圈問題的鍊錶解法 經典之作 出圈問題是上級考試中最難的題之一，可以說如果能獨立解決這個問題那麼其他的題自然不在話下。傳統的解法使用了一種橋難理解的複雜演算法，在這裡我提供一種相對來說更易理解的演算法 環鏈表模擬法 題目57 設有n個人圍坐一圈並按順時針方向從1到n編號，從第s個人開始進行1到m的報...