2.1.2 橢圓的簡單幾何性質（1）
一、【教學目標】
重點：橢圓的簡單幾何性質及其**過程；
難點：運用曲線方程研究曲線幾何性質的基本方法；
知識點：1．掌握橢圓的簡單幾何性質（對稱性、範圍、頂點、離心率）；
2．能說明離心率的大小對橢圓形狀的影響；
3．運用數形結合思想，研究曲線方程幾何性質；
能力點：體會數形結合的思想，掌握利用方程研究曲線性質的基本方法；
教育點：感受解析法研究問題的思想，感知橢圓曲線的對稱美，培養學生的學習興趣；
自主**點：從直觀幾何圖形出發，**橢圓的幾何性質；
訓練點：巧解橢圓的離心率問題，強化訓練解題方法和技巧，
考試點：橢圓性質的簡單應用，離心率對橢圓形狀的影響；
易錯易混點：之間的關係；離心率的定義及範圍；
拓展點：離心率的其他表達形式及簡便計算.
二、【引入新課】
（一）複習引入：
1．橢圓的定義:平面內與兩個定點的距離之和等於常數（大於）的點的軌跡叫做橢圓．
2．橢圓的標準方程：當焦點在x軸上時，；當焦點在y軸上時，．
3．橢圓中的關係是:．
【設計意圖】根據曲線的方程研究曲線的幾何性質並正確地畫出它的圖形是解析幾何的基本問題之一，在此之前，學生一定要能熟練寫出橢圓的標準方程．
（二）課題引入：
畫出橢圓，觀察橢圓的形狀，你能從圖上看出它的範圍嗎？它具有怎樣的對稱性？橢圓上哪些點比較特殊？
【設計意圖】借助多**輔助手段，先給出乙個可以直觀的橢圓，創設問題情景，讓學生從形的角度先對橢圓的幾何性質有乙個整體的把握，引導學生觀察、分析、猜測、論證，然後再重點從數的角度也就是方程組織討論，合作交流，啟發學生積極思維，不斷探索後匯報研究成果，得到結論後總結，及時進行反饋應用和反思總結．
三、【**新知】：
【師】觀察橢圓的形狀，你能從圖上看出它的範圍嗎？它具有怎樣的對稱性？橢圓上哪些點比較特殊？
【生】1．橢圓是軸對稱圖形，關於軸、軸對稱；橢圓還是中心對稱圖形，關於座標原點對稱．
2．橢圓與座標軸有四個交點，其中與x軸的兩個交點分別為，與y軸的兩個交點分別是．
3．的取值範圍是，的取值範圍是．
【師】由圖形觀察出的幾何性質，能否由方程得到？
【生】思考、研究、交流，展示自己的研究方法．
1. 範圍
(1)從影象上容易看出，橢圓上的點的橫座標的範圍是
，縱座標的範圍是．
(2)由方程可知，，
所以，橢圓上所有的點都適合不等式，即．
同理有．
【師】橢圓正好位於直線和所圍成的矩形框裡．
2. 對稱性
（1）觀察橢圓的形狀，可以發現橢圓既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形．
（2）在橢圓中，
（）把換成,方程不變，故圖象關於軸對稱；
（）把換成,方程不變，故圖象關於軸對稱；
（）把換成，同時把換成,方程不變，故圖象關於原點成中心對稱．
【師】綜上，橢圓關於軸和軸都是軸對稱的，關於原點是中心對稱的，這時，座標軸是橢圓的對稱軸，座標原點是橢圓的對稱中心，橢圓的對稱中心又叫橢圓的中心．
3. 頂點
令，得，說明橢圓與軸的交點為；令，得，說明橢圓與軸的交點為．
頂點：橢圓與它的對稱軸的四個交點，叫做橢圓的頂點．
橢圓的四個頂點分別為．
長軸、短軸：線段，分別叫做橢圓的長軸和短軸．，分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長．
【練習】根據前面所學有關知識畫出下列圖形：
第一組：；
第二組：在同一直角座標系中畫出下列橢圓.
【師】我們來比較上面第一組中的兩個圖形的扁平程度，當長軸相當的時候，橢圓的短軸越短，橢圓就越扁；第二組我們看得更為明顯.
那麼，我們如何來刻畫橢圓扁平程度呢？那就是離心率．（此處用幾何畫板進行動畫演示）
【設計意圖】引導學生分析影象，從影象中體會對橢圓扁平程度的影響，觀察動畫分析其中的相應變化，利用認知遷移規律，從學生的「最近發展區」出發，引導學生利用已有的知識嘗試解決問題，在學生已有的認知結構基礎上進行新概念的建構．從而引起學生的好奇心，激發學生的求知慾，教學中讓學生就此**進行思考展開討論從而自然引出離心率的概念，顯得不突兀；另外，除了離心率外，或的大小也是可以刻畫橢圓的扁平程度，具體的情況要學生自己探索.
4. 離心率
【師】我們把橢圓的焦距與長軸長的比稱為橢圓的離心率，用表示，即．
（1）離心率的取值範圍：；
（2）離心率對橢圓形狀的影響：
（）越接近， 就越接近，從而就越小，橢圓就越扁；
（）越接近， 就越接近，從而就越大，橢圓就越圓．
【師】思考：當時，曲線是什麼？當時，曲線又是什麼？
【生】當時，，，曲線是圓；當時，，，曲線是線段．
（3）離心率與的關係：
練習：對於橢圓與橢圓，更接近於圓的是
【設計意圖】通過**，培養學生研究問題的嚴謹性，觀察得到的結論不一定正確，必須給予理論證明，同時讓學生嘗試研究性學習與接受式學習相結合的學習方式，在這種方式下，學生自主的研究問題，在研究中掌握本節知識，體驗用方程研究圖形性質的思想和方法．
四、【理解新知】：
【設計意圖】用**的形式呈現，更方便學生理解和應用,為繼續學習打好堅實的基礎．
五、【運用新知】：
例1． 求橢圓的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點座標．
分析：先把橢圓的方程化成標準方程．
解：把已知方程化成標準方程，
於是，．
所以，長軸與短軸的長分別為
離心率兩個焦點座標分別為
四個頂點座標分別為
練習：求下列橢圓的長軸長、短軸長、焦點座標、頂點座標和離心率．
；；；．
小結：如果給出的橢圓方程不是標準方程，需要先化成標準方程，再確定的值，然後進行計算．
【設計意圖】讓學生嘗試用前面研究問題的方法解決實際問題，學以致用，進一步體驗解析幾何的基本思想，同時加深對一些基本概念：長軸、短軸、焦點、頂點、離心率等的理解．
例2 ． 已知橢圓的離心率，求的值及橢圓的長軸和短軸的長、焦點座標、頂點座標．
分析：將橢圓方程化為標準形式，用表示出，再由求出的值，然後再求、焦點座標、頂點座標．
解：橢圓方程可化為，
又，即．
由，得．解得
橢圓的標準方程為 ，
．橢圓的長軸長為，短軸長為，
兩個焦點座標分別為
四個頂點座標分別為
【設計意圖】已知橢圓的方程討論其性質時，應先把橢圓的方程化成標準形式，找準，才能正確寫出其相關的性質，在求頂點座標與焦點座標時，應注意焦點所在的座標軸．
例3 ．求適合下列條件的橢圓的標準方程：
（1）長軸長為，離心率是；
（2）在軸上的乙個焦點，與短軸的兩個端點的連線互相垂直，且焦距為．
分析：因為要求的是橢圓的標準方程，故可以先設出橢圓的標準方程，再利用待定係數法求引數
解：（1）設橢圓方程或．
由已知得
又橢圓的標準方程為或．
（2）由題知焦點在軸上，故可設橢圓的標準方程為，
且兩焦點是
又為等腰三角形，為斜邊的中線，且
．橢圓的標準方程為．
【設計意圖】提高學生分析問題，運用幾何性質、數形結合思想解決實際問題的能力．
練習：求適合下列條件的橢圓的標準方程：
（1）過點，離心率；
（2）長軸長是短軸長的倍，且橢圓過點．
【設計意圖】讓學生能夠從已知的橢圓的幾何性質**橢圓的標準方程形式，進一步提公升學生對待定係數法的認識，一般步驟主要是（1）定位，（2）定量．
六、【課堂小結】
教師提問：本節課我們學習了哪些知識點，涉及到什麼規律方法？
學生作答：
（1） 本節課從範圍、頂點、對稱性、離心率四個方面學習了橢圓的幾何性質；
（2） 體驗了由方程研究幾何性質的方法；
（3） 本節課的乙個重要數學思想是數形結合．數形結合也是後面學習其它知識的重要思想方法之一．
【設計意圖】加強對學生學習方法的指導，做到「授人以漁」．
七、【布置作業】
1． 閱讀課本p37—p40；
2． 必做題：（1）課本第41頁，練習，第2，3，4，5題；（2）課本第42頁，a組，第3，4，5題．
3． 選做題：課本第43頁，b組，第1題
4． 課外**：用《幾何畫板》**離心率e對橢圓扁平程度的影響．
【設計意圖】設計作業必做題1，2，是引導學生先複習，再作業，培養學生良好的學習習慣．書面作業的布置，是為了讓學生掌握橢圓的幾何性質，根據題目條件求橢圓的標準方程；課外**的安排，是讓學生進一步感受離心率e對橢圓扁平程度的影響，結合《幾何畫板》畫圖，讓學生更直觀的感受，體會數學美，使所學知識和方法得到進一步的提高．
八、【教後反思】
1．本節課採用「以問題為中心」的自學**模式，教師平等的參與學生的自主**活動，力求調動一切積極因素，激發學生的學習興趣，引導學生全員參與．在教師的引導啟發下，使學生的思維圍繞「**」步步深入，最大限度挖掘學生潛能，體現學生的主體性．通過動手操作，合作交流，使學生發現並掌握橢圓的簡單幾何性質，感受領會從數到形、從形到數的**過程．
2．借助多**、幾何畫板輔助教學，精確的畫出橢圓，便於學生觀察幾何性質，激發學生的學習興趣，增加課堂教學的資訊容量，提高了課堂教學的效率．
3．在教學方法上，主要是採用「自學**」進行教學．教師通過點撥引導的方式，啟動學生的思維活動，從圖形出發引出數學概念，使學生充分理解「數形結合思想」．
4.由於課堂時間有限，根據所給條件求橢圓離心率的求法沒有做過多介紹，這要在習題課中重點講解.
九、【板書設計】
【設計意圖】有利於學生對本節課的知識有乙個系統的認識．
酸及其性質 第一課時
7.1 酸及其性質 第一課時 學習目標 一 知識與技能 1 知道幾種常見的酸主要性質和用途，認識酸的腐蝕性及使用時的安全事項，初步學會稀釋常見的酸溶液，2 從組成和結構上初步認識酸。二 過程與方法 1 通過實驗 濃鹽酸與濃硫酸的性質，並比較歸納其性質，初步學會認識事物的一種方法。2 巨集觀與微觀相聯...
橢圓標準方程第一課時練習
橢圓及其標準方程 一 11.8 1 已知a 4,b 1，焦點在x軸上的橢圓方程是 a b c d 2 已知焦點座標為 0,4 0,4 且a 6的橢圓方程是 a b c d 3 若橢圓上一點p到焦點f1的距離等於6，則點p到另乙個焦點f2的距離是 a 4 b 194 c 94 d 14 4 已知f1,...
橢圓及其標準方程 第一課時
2.2.1橢圓及其標準方程 第一課時 授課人李向林 一 教材分析 1 地位及作用 圓錐曲線是乙個重要的幾何模型，有許多幾何性質，這些性質在日常生活 生產和科學技術中有著廣泛的應用。同時，圓錐曲線也是體現數形結合思想的重要素材。在必修2中學生已初步掌握了解析幾何研究問題的主要方法,並在平面直角座標系中...