2.2.1橢圓及其標準方程（第一課時）
授課人李向林
一、教材分析
1、地位及作用
圓錐曲線是乙個重要的幾何模型，有許多幾何性質，這些性質在日常生活、生產和科學技術中有著廣泛的應用。同時，圓錐曲線也是體現數形結合思想的重要素材。
在必修2中學生已初步掌握了解析幾何研究問題的主要方法,並在平面直角座標系中研究了直線和圓這兩個基本的幾何圖形．在選修2中，教材利用三種圓錐曲線進一步深化如何利用代數方法研究幾何問題．由於教材以橢圓為重點交代求方程、利用方程討論幾何性質的一般方法,在雙曲線、拋物線的教學中應用和鞏固，因此「橢圓及其標準方程」起到了承上啟下的重要作用，是本章的重點內容。
2、教學內容與教材處理
橢圓的標準方程共兩課時，第一課時所研究的是橢圓標準方程的建立及其簡單運用，涉及的數學方法有觀察、比較、歸納、猜想、推理驗證等，我將以課堂教學的組織者、引導者、合作者的身份，組織學生動手實驗、歸納猜想、推理驗證，引導學生逐個突破難點，自主完成問題，使學生通過各種數學活動，掌握各種數學基本技能，初步學會從數學角度去觀察事物和思考問題，產生學習數學的願望和興趣。
3、教學目標
根據教學大綱和學生已有的認知基礎,我將本節課的教學目標確定如下：
1. 知識與技能目標：
①建立直角座標系，根據橢圓的定義建立橢圓的標準方程，
②掌握橢圓的標準方程，在化簡橢圓方程的過程中提高學生的運算能力
③進一步感受曲線方程的概念，了解建立曲線方程的基本方法，體會數形結合的數學思想。
2. 過程與方法目標：
①經歷橢圓概念的產生過程，學習從具體例項中提煉數學概念的方法，由形象到抽象，從具體到一般，掌握數學概念的數學本質，提高學生的歸納概括能力
②學會用座標化的方法求動點軌跡方程
③對學生進行數學思想方法的滲透，培養學生具有利用數學思想方法分析和解決問題的意識
3.情感態度價值觀目標：
①充分發揮學生在學習中的主體地位，引導學生活動、觀察、思考、合作、**、歸納、交流、反思，促進形成研究氛圍和合作意識
②重視知識的形成過程教學，讓學生知其然並知其所以然，通過學習新知識體會到前人探索的艱辛過程與創新的樂趣
③通過對橢圓定義的嚴密化，培養學生形成紮實嚴謹的科學作風
④通過經歷橢圓方程的化簡,增強學生戰勝困難的意志品質並體會數學的簡潔美、對稱美
4、重點難點
基於以上分析，我將本課的教學重點、難點確定為：
重點：橢圓的定義、橢圓的標準方程、座標化的基本思想
難點：橢圓標準方程的推導與化簡，座標法的應用
關鍵：含有兩個根式的等式化簡
二、教法設計
新課程倡導學生自主學習，要求教師成為學生學習的引導者、組織者、合作者和促進者，使教學過程成為師生交流、積極互動、共同發展的過程．本節課採用讓學生動手實踐、自主**、合作交流及教師啟發引導的教學方法，按照「創設情境——學生活動——意義建構——數學理論——數學應用——回顧反思——鞏固提高」的程式設計教學過程，並以多**手段輔助教學，使學生經歷實踐、觀察、猜想、論證、交流、反思等理性思維的基本過程，切實改進學生的學習方式，使學生真正成為學習的主人．
三、學法設計
通過創設情境，充分調動學生已有的學習經驗，讓學生經歷「觀察——猜想——證明——應用」的過程，發現新的知識，把學生的潛意識狀態的好奇心變為自覺求知的創新意識。又通過實際操作，使剛產生的數學知識得到完善，提高了學生動手動腦的能力和增強了研究探索的綜合素質。
四、學情分析
1.能力分析
①學生已初步掌握用座標法研究直線和圓的方程，
②對含有兩個根式方程的化簡能力薄弱。
2.認知分析
①學生已初步熟悉求曲線方程的基本步驟，
②學生已經掌握直線和圓的方程及圓錐曲線的概念，對曲線的方程的概念有一定的了解，
③學生已經初步掌握研究直線和圓的基本方法。
3.情感分析
學生具有積極的學習態度，強烈的**慾望，能主動參與研究。
五、教學準備：
ppt，幾何畫板，畫橢圓工具（繪圖板、圖釘、繩子、筆）
教學過程：
一、創設情境，引入課題
幾何畫板演示一些天體執行的軌跡圖，並提出問題——這些天體執行的軌跡是什麼？
學生經過觀察，很直觀地看出是橢圓。
問：你能不能列舉生活中橢圓的例子？從而引出課題
[設計意圖]激發學習興趣，了解生活中有橢圓，說明研究橢圓的必要性。
二、實驗**，形成概念
1、取一條定長的細繩，把它的兩端都固定在圖版的同一點處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，這時筆尖（動點）畫出的軌跡是什麼？（回顧圓定義）
2、如果把細繩的兩端拉開一段距離，將圓心分開變成兩個，繩子兩端固定在這兩個定點上，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的軌跡是什麼曲線。
學生活動：拿出事先準備的學具，動手合作操作，畫出橢圓。教師活動：用教具畫橢圓。
3、在這一過程中，移動的筆尖（動點）滿足的幾何條件是什麼？
4、你能自己歸納橢圓的定義嗎？
活動：學生觀察分析、歸納定義，老師補充概括，給出橢圓定義，並引導學生注意關鍵條件。
5、為什麼常數要大於呢？（教師操作，學生觀察分析三種情況。）
[設計意圖]在「做」中學，通過畫橢圓的實驗操作，經歷概念的形成過程，積累感性經驗。同時培養學生動手操作、觀察分析、歸納概括的能力，引導學生自主合作**，變被動為主動。
三、師生互動，推導方程
回顧求曲線方程的基本方法——座標法，及其它的解題步驟。
建系設點：思考：觀察橢圓的形狀，怎樣建立座標系才能使橢圓的方程簡單？
（根據橢圓的對稱性建系）。
寫出點集：根據橢圓定義，寫出橢圓上動點滿足的幾何條件；
列出方程：座標代入（距離公式）；
化簡：問：兩個根式之和的等式，如何化簡？
預想1：學生可能會想直接平方
對策1：將錯就錯，直到學生感到困難，算不下去，出現困惑，老師在引導。
預想2：學生直接提出將乙個根式移到另一邊
對策2：順著學生思路走，但追問為什麼這麼做，點明思路。
學生活動：繼續化簡，兩次平方，整理，得到：
問：這個方程形式上還不夠簡潔對稱，我們設，跟勾股定理公式很像，如果把看作乙個直角三角形的三邊，你能從橢圓圖形中找出這樣的直角三角形嗎？（學生觀察分析，明確b的幾何意義。
）這裡我選擇設b2=a2-c2（b>0）其作用是
首先美化方程：使方程簡潔美、對稱美、和諧美，
其次使b具有明顯的幾何意義：原點與橢圓和y軸的交點之間的線段長。
以兩定點f1、f2所在直線為軸，線段f1f2的垂直平分線為y軸，建立直角座標系（如圖1）．
設為橢圓上的任意一點，設mf1+mf2=m，f1f2=n，（m >n>0）
則、．由mf1+mf2=m得
移項得平方得
整理得再平方得再整理得
所以即令m=2a,n=2c 即mf1+mf2=2a, f1f2=2c,上面方程化簡可得
結合圖形，找出方程中a、c對應的線段．
如圖，of2=c，mf2=a， a與c可以看成rt△mof2的斜邊和直角邊．那麼a2-c2就是另一直角邊的平方，因此我們令b2=a2-c2（b>0），
則方程變為（a＞b＞0）
由上述過程可知，橢圓上的點的座標(x,y)都滿足上面
這個方程；滿足這個方程的點(x,y)都在已知的橢圓上。
所以，這個方程就是所求得橢圓的方程.
以兩定點f1、f2所在直線為x軸，f1為原點，建立直角座標系（如圖2）．
設為橢圓上的任意一點，設mf1 + mf2 =m, f1f2=n，m>n>0，則、．
由mf1+mf2=m得
類似第一種方法,移項後平方，整理可得
再平方，整理可得
所以即令m=2a,n=2c 即mf1+mf2=2a, f1f2=2c,上面方程為
令b2=a2-c2（b>0），則方程變為
通過比較可知，方程（a＞b＞0）更簡潔。把方程叫做橢圓的標準方程。
總結推導橢圓的標準方程的步驟：
（1）建系——建立適當的座標系
（2）設點
（3）列式
（4）化簡
（5）證明
[設計意圖]通過這兩種方法所得到的橢圓方程的比較，讓學生在比較中體會哪種方程更能反映橢圓的對稱美，從而引出橢圓的標準方程。
在得到橢圓的標準方程之後，我和學生共同總結推導橢圓標準方程的步驟，其目的是進一步強化求曲線方程的一般步驟，同時也讓學生享受成功的喜悅。
四、模擬推廣，對比歸納
[師總結]焦點在x軸上橢圓標準方程，以及a,b,c之間關係。
問：如果焦點在y軸上，且的座標分別為，的意義同上，這時橢圓的方程是什麼？
生：x、y互換，得到焦點在y軸上的橢圓的標準方程。
活動：教師列**，學生對比歸納兩種標準方程的相同點與不同點。
標準方程比較
（1）相同點
①方程中x，y表示橢圓上任意一點的座標；
②關於x，y的二元二次方程；
③方程右邊是常數1，左邊是平方和的形式；
④a是橢圓上的點到兩焦點距離和的一半，b2＝a2-c2，c是焦距的一半；
a2＝b2+c2，a>b>0, a>c>0,b與c大小不定
⑤焦點位置的判定：焦點在較大分母對應的變數的座標軸上
（2）不同點
[設計意圖]通過對比總結，加深對橢圓標準方程的理解，使學生體會模擬的思想方法，為後面學習雙曲線、拋物線打基礎。
五、應用舉例，歸納點評
例1填空：
(1)已知橢圓的方程為則a=_____，b=_______，c=_______，焦點座標為焦距等於______;若cd為過左焦點f1的弦，則f2cd的周長為________
(2)已知橢圓的方程為則 a=_____，b=_______，c=_______，
焦點座標為焦距等於若曲線上一點p到左焦點f1的距離為3，則點p到另乙個焦點f2的距離等於則f1pf2的周長為
[方法小結] （1）哪個分母大，焦點落在哪個座標軸上；（2）之間的關係：，其中最大。
橢圓及其標準方程 第一課時 說課稿
瓊山華僑中學吳麗 尊敬的各位評委 各位老師 大家好！我說課的題目是人教版普通高中課程選修1 1第二章第一節 橢圓及其標準方程 下面我就教材分析 教學目標 教學程式 教法與學法 板書設計 教學評價這個幾方面進行闡述。一 教材分析 1 教材的地位及作用 橢圓及其標準方程 是繼學習圓以後運用 曲線和方程 ...
橢圓及其標準方程 第一課時 說課稿
一 教材分析 1 教材的地位及作用 江蘇教育版 選修2 1 第二章 圓錐曲線 是高考重點考查章節。橢圓及其標準方程 是 圓錐曲線 第一節的內容,是繼學習圓以後運用 曲線和方程 理論解決具體的二次曲線的又一例項。從知識上說，它是運用座標法研究曲線的幾何性質的又一次實際演練，同時它也是進一步研究橢圓幾何...
2橢圓2 2 1橢圓及其標準方程第一課時
教材分析 本節內容是繼學生學習了直線和圓的方程，對曲線的方程的概念有了一定了解，對用座標法研究幾何問題有了初步認識的基礎上，進一步學習用座標法研究曲線.橢圓的學習可以為後面研究雙曲線 拋物線提供基本模式和理論基礎.因此這節課有承前啟後的作用，是本章和本節的重點內容之一 因此這一節的教學既可以對前面所...