【自學導引】
1．平面內與乙個定點f和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點f叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線．
2．方程y2＝±2px，x2＝±2py(p>0)叫做拋物線的標準方程，有四種形式．
3．拋物線y2＝2px(p>0)的焦點座標是，它的準線方程是，它的開口方向向右．
4．拋物線y2＝－2px(p>0)的焦點座標是，它的準線方程是，它的開口方向向左．
5．拋物線x2＝2py(p>0)的焦點座標是，它的準線方程是，它的開口方向向上．
6．拋物線x2＝－2py(p>0)的焦點座標是，它的準線方程是，它的開口方向向下．
【思考導學】
1．拋物線的標準方程中p具有一定的幾何意義，它表示拋物線的焦點到其準線的距離，簡稱焦準距，所以p>0．
2．拋物線的焦點在一次項對應的軸上，開口方向由它的標準方程中2p前面正、負號決定．
3．拋物線y2＝mx(m≠0)的焦準距p為，焦點座標是，準線方程是．
【典例剖析】
［例1］(1)已知拋物線的標準方程是x2＝4y，求它的焦點座標和準線方程；
(2)已知拋物線的焦點座標是(－3，0)，求它的標準方程．
解：(1)因為p＝2，所以焦點座標是(0，1)，準線方程是y＝－1．
(2)因為焦點在x軸的負半軸上，並且＝3，p＝6，所以所求拋物線的標準方程是y2＝－12x．
點評：明確題目中p的值及拋物線的開口方向是解決問題的首要過程．
［例2］已知拋物線的焦點為(3，3)，準線為x軸，求拋物線的方程．
解：設m(x，y)為拋物線上的任意一點，
則由拋物線的定義得＝|y|，
兩邊平方並整理，得y＝x2－x＋3為所求拋物線的方程．
點評：當拋物線不在標準位置時，只有利用其定義來求方程．
［例3］點m與點f(0，－2)的距離比它到直線l：y－3＝0的距離小1，求點m的軌跡方程．
解：設點m的座標為(x，y)．
由已知條件可知，點m與點f的距離等於它到直線y－2＝0的距離．根據拋物線的定義，點m的軌跡是以f(0，－2)為焦點的拋物線．
∵＝2，∴p＝4．
∵焦點在y軸的負半軸上，
∴點m的軌跡方程x2＝－8y．
點評：若將條件化為｜mf｜＋1＝｜y－3｜，其中｜mf｜用兩點間的距離公式表示，再化簡得方程．過程將非常繁瑣．
【隨堂訓練】
1．已知拋物線的焦點座標是(2，0)，則拋物線的標準方程是( )
a．y2＝4x
b．y2＝－4x
c．y2＝－8x
d．y2＝8x
解析：∵＝2，∴p＝4，∵拋物線的焦點在x軸上，∴拋物線的標準方程是y2＝8x．
答案：d
2．已知拋物線的準線方程是x＝－7，則拋物線的標準方程是( )
a．x2＝－28y
b．y2＝28x
c．y2＝－28x
d．x2＝28y
解析：∵，∴p＝14，∵拋物線的焦點在x軸上，∴拋物線的方程是y2＝28x．
答案：b
3．已知拋物線的焦點座標是(0，－3)，則拋物線的標準方程是( )
a．x2＝－12y
b．x2＝12y
c．y2＝－12x
d．y2＝12x
解析：∵＝3，∴p＝6．∵拋物線的焦點在y軸上，
∴拋物線的方程為x2＝－12y．
答案：a
4．拋物線y2＝－4px(p＞0)的焦點為f，準線為l，則p表示( )
a．f到l的距離
b．f到y軸的距離
c．f點的橫座標
d．f到l的距離的
解析：在拋物線的標準方程y2＝－2px(p＞0)中，p是焦點到準線的距離，是焦點到y軸的距離或y軸與準線間的距離，所以在拋物線方程y2＝－4px(p＞0)中，p為焦點到y軸或y軸與準線間的距離．
答案：b
5．求焦點到準線的距離是2的拋物線的標準方程______．
解析：由拋物線的定義知p＝2
因此所求拋物線的標準方程有以下四種形式：y2＝4x，y2＝－4x，x2＝4y，x2＝－4y．
答案：y2＝4x，y2＝－4x，x2＝4y，x2＝－4y
6．已知點(－2，3)與拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點的距離是5，求p的值為______．
解：拋物線的焦點為(，0)
由 ＝5得p＝4．
答案：4
【強化訓練】
1．經過點p(4，－2)的拋物線標準方程為( )
a．y2＝x或x2＝－8y
b．y2＝x或y2＝8x
c．y2＝－8x
d．x2＝－8y
解析：設拋物線的方程為y2＝2px或x2＝2p1y．
∵點p(4，－2)在拋物線上，∴4＝2p×4或16＝2p1(－2)，
∴p＝或p1＝－4，∴拋物線的方程為y2＝x或x2＝－8y．
答案：a
2．拋物線x2＝4ay的準線方程為( )
a．x＝－a
b．x＝a
c．y＝－a
d．y＝a
解析：∵拋物線的焦點在y軸上，∴拋物線的準線方程為y＝－，即y＝－a．
答案：c
3．焦點在直線3x－4y－12＝0上的拋物線標準方程為( )
a．x2＝16y或y2＝16x
b．y2＝16x或x2＝12y
c．y2＝16x或x2＝－12y
d．x2＝16y或y2＝－12x
解析：直線3x－4y－12＝0與x軸、y軸的交點分別是(4，0)和(0，－3)，所以拋物線的焦點為(4，0)或(0，－3)．因此，所求拋物線的標準方程為y2＝16x或x2＝－12y．
答案：c
4．動點到點(3，0)的距離比它到直線x＝－2的距離大1，則動點的軌跡是( )
a．橢圓
b．雙曲線
c．雙曲線的一支
d．拋物線
解析：由題意可知，動點到點(3，0)的距離等於它到直線x＝－3的距離，由拋物線定義知動點的軌跡是拋物線．
答案：d
5．拋物線y＝x2(a≠0)的焦點座標是
解析：把方程y＝x2寫成x2＝ay，∴拋物線的焦點座標是(0，)．
答案：(0，)
6．圓心在拋物線y2＝2x上，且與x軸和該拋物線的準線都相切的圓的方程是_______．
解析：由題設可知圓與x軸的切點為拋物線的焦點，所以圓心為(，±1)，半徑為1．
∴圓的方程為(x－)2＋(y±1)2＝1．
答案：(x－)2＋(y±1)2＝1
7．拋物線的焦點f在x軸上，a(m，－3)在拋物線上，且|af|＝5，求拋物線的標準方程．
解：設拋物線方程為y2＝2px或y2＝－2px，(p＞0)
∵a點在拋物線上
∴(－3)2＝2pm或(－3)2＝－2pm
∴m又|af|＝＋|m|＝5
把①代入②可得＝5
即p2－10p＋9＝0∴p＝1或p＝9
∴所求拋物線方程為y2＝±2x或y2＝±18x．
8．已知拋物線的焦點座標是()，準線方程是y＝，求拋物線的方程．
解：設m(x，y)為拋物線上任意一點，則m到焦點的距離為
，點m到準線的距離為｜y－｜，
由拋物線的定義，得．
兩邊平方並整理，得y＝ax2＋bx＋c為所求拋物線的方程．
9．過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點f任作一條直線m，交拋物線於p1、p2兩點，求證：以p1p2為直徑的圓和該拋物線的準線相切．
證明：設p1p2的中點為p0，過p1、p2、p0分別向準線l引垂線，垂足分別為q1、q2、q0，根據拋物線的定義得
｜p1f｜＝｜p1q1｜，
｜p2f｜＝｜p2q2｜．
∴｜p1p2｜＝｜p1f｜＋｜p2f｜＝｜p1q1｜＋｜p2q2｜．
∵p1q1∥p0q0∥p2q2，｜p1p0｜＝｜p0p2｜，
∴｜p0q0｜＝(｜p1q1｜＋｜p2q2｜)＝｜p1p2｜．
由此可知，p0q0是以p1p2為直徑的圓p0的半徑，且p0q0⊥l，因此，圓p0與準線相切．
【學後反思】
1．拋物線的標準方程有四種形式，p的意義是表示焦點到準線的距離，因為焦點不在準線上，所以p＞0．
2．標準方程中前面的正負號決定了拋物線的開口方向．
3．重視拋物線的定義在解題中的作用．
橢圓及其標準方程 第一課時
2.2.1橢圓及其標準方程 第一課時 授課人李向林 一 教材分析 1 地位及作用 圓錐曲線是乙個重要的幾何模型，有許多幾何性質，這些性質在日常生活 生產和科學技術中有著廣泛的應用。同時，圓錐曲線也是體現數形結合思想的重要素材。在必修2中學生已初步掌握了解析幾何研究問題的主要方法,並在平面直角座標系中...
拋物線及其標準方程
2.4.1拋物線及其標準方程 使用說明 1 課前完成預習學案，掌握基本題型 2 認真限時規範書寫，課上小組合作 答疑解惑。3 a b層全部掌握，c層選做。學習目標 掌握拋物線的定義 標準方程 幾何圖形 問題導學 一 課前準備 預習教材理p64 p67，文p56 p59找出疑惑之處 複習1 函式的圖象...
拋物線及其標準方程
2.3.1拋物線及其標準方程 學習目標 掌握拋物線的定義 標準方程 幾何圖形 學習過程 一 課前準備 複習1 函式的圖象是 它的頂點座標是 對稱軸是 複習2 點與定點的距離和它到定直線的距離的比是，則點的軌跡是什麼圖形？二 新課導學 學習 1 若乙個動點到乙個定點和一條定直線的距離相等，這個點的運動...