教材分析
本節內容是繼學生學習了直線和圓的方程，對曲線的方程的概念有了一定了解，對用座標法研究幾何問題有了初步認識的基礎上，進一步學習用座標法研究曲線. 橢圓的學習可以為後面研究雙曲線、拋物線提供基本模式和理論基礎. 因此這節課有承前啟後的作用，是本章和本節的重點內容之一．因此這一節的教學既可以對前面所學知識情況進行檢查，又為以後進一步學習其他兩種圓錐曲線打好基礎，所以學好本節課內容具有承上啟下的重要意義．我們在教學中採用實驗探索法，講授發現法等教學法，具體做法如下：
(1)通過圖形由圓變化到橢圓的過程中蘊含著運動變化的思想，由學生通過觀察、猜想，從而使學生參與知識的獲取、抽象、歸納的全過程，得到橢圓的定義及其應注意的條件，提高學生的綜合分析能力．
(2)由演示出發，經過問題思考→研究討論→點撥引導→抽象概括，得到橢圓標準方程．教師邊演示邊提出問題，充分調動學生學習的自主性和積極性，並從中體會數學知識的和諧美和獲取知識的喜悅．
一位教育學家說過：「不能只向學生奉獻真理，而應教給學生發現和探求真理的方法．」本節課的教學，正是本著這樣的教學思想去設計的．
課時分配
本節內容分兩課時完成. 第一課時講解橢圓的定義及其標準方程；第二課時講解運用橢圓的定義及其標準方程解題，鞏固求曲線方程的兩種基本方法，即待定係數法、定義法．
第1課時
教學設計(一)
教學目標
知識與技能
掌握橢圓的定義及其標準方程；能正確推導橢圓的標準方程；明確焦點、焦距的概念．
過程與方法
培養學生的動手能力和合作學習能力；滲透模擬推理、分類討論和數形結合思想．
情感、態度與價值觀
激發學生學習數學的興趣、提高學生的審美情趣、培養學生勇於探索，敢於創新的精神．
重點難點
教學重點：橢圓的定義和橢圓的標準方程．
教學難點：橢圓標準方程的推導．
教具準備
多**課件和自製教具：繪圖板、圖釘、細繩．
引入新課
1．通過演示課前老師和學生共同準備的有關橢圓的實物和**(ppt)，讓學生從感性上認識橢圓．
2．通過動畫設計(幾何畫板演示)，展示橢圓的形成過程，使學生認識到橢圓是點按一定「規律」運動的軌跡．
**新知
**：取一條定長的細繩，把它的兩端都固定在圖板的同一點處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，這時筆尖(動點)畫出的軌跡是乙個圓．如果把細繩的兩端拉開一段距離，分別固定在圖板的兩點處(如圖)，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，畫出的軌跡是什麼曲線？
下面請同學們在繪圖板上作圖，並思考以下問題：
在作圖時，因為筆尖m運動，所以為動點，兩個圖釘f1、f2不動，所以為定點．
1．在這一過程中，你能說出移動的筆尖(動點)滿足的幾何條件嗎？其軌跡是什麼曲線？
2．改變兩圖釘之間的距離，使其與繩長相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？
3．當繩長小於兩圖釘之間的距離時，還能畫出圖形嗎？
4．兩個圖釘重合在一點時，畫出的圖形是什麼？
5. 當繩長滿足什麼條件時，動點m形成的軌跡是橢圓？
活動設計：兩個學生一組，合作操作畫圖過程，並思考上述問題，必要時，允許合作、討論、交流．教師巡視指導，及時發現問題，解決問題．
活動成果：1.|mf1|＋|mf2|＝繩長(定值)；橢圓；2.
不是橢圓，是線段f1f2；3.不能；4.以f1(f2)為圓心，以繩長的一半為半徑的圓；5.
當兩圖釘f1、f2之間的距離不為0且繩長大於兩圖釘f1、f2之間的距離時．
提出問題：模擬平面幾何中圓的定義，給出橢圓的定義．
活動設計：學生先獨立思考，必要時允許學生自願合作、討論、交流．
學情**：開始學生的回答可能不全面、不準確，但在學生的不斷補充、糾正下，會趨於完善．
活動成果：師生共同概括出橢圓定義：
平面內與兩個定點f1 、f2 的距離的和等於常數(大於 |f1 f2 | )的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做橢圓的焦距．
(在歸納定義時強調定義要滿足三個條件：在平面內、任意一點到兩個定點的距離之和等於常數、常數大於|f1f2|)
設計意圖：通過上述操作、思考問題使學生建立起對橢圓的初步、直觀的認識，並訓練和培養學生的抽象概括能力．
下面我們根據橢圓的幾何特徵，選擇適當的座標系，建立橢圓方程．為今後通過方程研究橢圓的性質做好準備．
提出問題：利用座標法求曲線方程的一般方法和步驟是什麼？
活動結果：建系、設點、列式、化簡．(學生回答，教師板書)
提出問題：如圖，已知橢圓的兩焦點為f1，f2，且|f1f2|＝2c，對橢圓上任一點m，有
|mf1|＋|mf2|＝2a，嘗試建立橢圓的方程．
提出問題：如何建立座標系，使求出的方程更為簡單？
活動設計：學生先獨立思考，必要時，允許合作討論．教師巡視指導．
學情**：學生的建系方法應當會有很多種．
活動結果：教師將各個學生或學習小組的建立座標系的方案一一畫圖表示．然後，提醒全班學生應當模擬利用圓的對稱性建立圓的標準方程時的建立座標系的方法，根據橢圓的幾何特徵(主要是對稱性)，選擇適當的座標系，才可能使建立的橢圓方程簡單．這樣，師生就會達成一致意見，選定以下兩種方案：
方案一：如圖，以經過橢圓兩焦點f1，f2的直線為x軸，線段f1f2的垂直平分線為y軸，建立直角座標系xoy.
方案二：如圖，以經過橢圓兩焦點f1，f2的直線為y軸，線段f1f2的垂直平分線為x軸，建立直角座標系xoy.
方案一方案二
提出問題：請同學們按方案一具體求出橢圓的方程．
活動設計：學生獨立解決．必要時，為順利完成教學，教師應當介入，加以指導、提示．
設點：設橢圓上任一點m的座標為(x，y)，
列式：|mf1|＋|mf2|＝2a，∴＋＝2a.①
化簡：(這裡，教師為突破難點，進行設問：我們怎樣化簡帶根式的式子？對於本式是直接平方好還是整理後再平方好呢？)
＝2a－，
兩邊平方，得(x＋c)2＋y2＝4a2－4a＋(x－c)2＋y2，
即a2－cx＝a，
兩邊平方，得a4－2a2cx＋c2x2＝a2(x－c)2＋a2y2，
整理，得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)．(※)
學情**：一般情況下，得到方程(※)即告結束．
提出問題：設方案一中的橢圓與x軸的交點分別為a1，a2，與y軸的交點分別為b1，b2，同學們都知道a，c的含義，你能從圖形中找到長度分別等於a，c的線段嗎？
活動設計：學生先獨立思考，必要時，可以重複開始的畫橢圓的過程，並可合作交流．
學情**：估計得出c＝＝|of1|＝|of2|，a＝＝|oa1|＝|oa2|應當不會有問題．
提出問題：當動點m移動到b1或b2點時，根據橢圓的定義及座標系的建立方式，你還能發現新的結論嗎？
學情**：學生會發現：|b2f1|＝|b2f2|＝a＝|b1f1|＝|b1f2|.
教師：這樣，因為△b2of2為直角三角形，且|b2f2|＝a，|of2|＝c，所以，a2－c2＝|ob2|2.因此，方程(※)中的a2－c2有明顯的幾何意義．為此，令|ob2|＝b，則a2－c2＝b2.
於是，方程(※)可以進一步化簡為：
b2x2＋a2y2＝a2b2.(☆)
學情**：一般情況下，得到方程(☆)，本題求解也即告結束．
提出問題：非常好．這個方程兩邊次數一致，非常工整，類似這種結構的方程在哪兒見過，怎麼處理的呢？
活動設計：學生可以互相討論、啟發，必要時教師可以提示．
活動結果：直線的截距式方程＋＝1就是由bx＋ay＝ab化得的．因此，
方程(☆)可以進一步整理成：＋＝1(a>b>0)(這種形式「美」)．
指出：方程＋＝1(a>b>0)叫做橢圓的標準方程，焦點在x軸上，焦點是f1(－c,0)，f2(c,0)，且c2＝a2－b2.
提出問題：如果以f1，f2所在直線為y軸，線段f1f2的垂直平分線為x軸，建立直角座標系，焦點是f1(0，－c)，f2(0，c)，橢圓的方程又如何呢？
教師：列式：|mf1|＋|mf2|＝2a，即＋＝2a.②
試比較①②兩式，它們有何區別與聯絡？發現只需交換①式中x和y的位置，即得②式，反之也成立．所以，易知，只需將＋＝1(a>b>0)中的x和y的位置互換，即得焦點在y軸上的橢圓方程為＋＝1(a>b>0)．
教師指出：我們所得的兩個方程＋＝1和＋＝1(a>b>0)都是橢圓的標準方程．
提出問題：已知橢圓的標準方程，如何判斷焦點位置？
活動設計：學生先獨立思考，當然，學生自願合作討論也允許．
活動結果：看x2，y2的分母大小，哪個分母大就在哪一條軸上．
理解新知
1．觀察橢圓圖形及其標準方程，師生共同總結歸納：
(1)橢圓標準方程對應的橢圓中心在原點，以焦點所在軸為座標軸；
(2)橢圓標準方程形式：左邊是兩個分式的平方和，右邊是1；
(3)橢圓標準方程中三個引數a，b，c滿足關係式：b2＝a2－c2(a>b>0)；
2 2 1橢圓及其標準方程
高二數學學案 第二章圓錐曲線與方程 2.1曲線與方程 一 學習目標 理解橢圓的概念，掌握橢圓的定義,理解橢圓標準方程的推導過程及化簡無理方程的常用的方法.二 學習重點與難點 重點 橢圓標準方程的推導過程及化簡無理方程的常用的方法 難點 求動點的伴隨點的軌跡方程的一般方法 三 學習過程 一 p38頁上...
2 2 1橢圓及其標準方程 1 評估訓練
2.2.1 橢圓及其標準方程 1 設p是橢圓 1上的點，若f1，f2是橢圓的兩個焦點，則 pf1 pf2 等於 2 已知f1，f2是定點，f1f2 8，動點m滿足 mf1 mf2 8，則動點m的軌跡是 3 如果方程 1表示焦點在x軸上的橢圓，則實數a的取值範圍是 4 已知橢圓的焦點在y軸上，其上任意...
橢圓及其標準方程2 教案
教學目標 1 熟練掌握橢圓的兩個標準方程 2 能應用特定係數法求橢圓的標準方程.教學重點 橢圓標準方程的兩種形式 教學難點 兩種橢圓標準方程的區分和應用 教學方法 學導式 教具準備 幻燈片 三角板 教學過程 複習回顧 師 上一節，我們學習了橢圓的定義並推導了橢圓的標準方程，下面作簡要的回顧 略 這一...