2023年高招全國課標1（理科數學word解析版）
第ⅰ卷一．選擇題：
1.【答案】：a
【解析】：∵a==，b=，
∴=，選a..
2.【答案】：d
【解析】：∵=，選d..
3.【答案】：c
【解析】：設，則，∵是奇函式，是偶函式，∴，為奇函式，選c.
4.【答案】：a
【解析】：由：，得，
設，一條漸近線，即，則點到的一條漸近線的距離=，選a. .
5.【答案】：d
【解析】：4位同學各自在周
六、週日兩天中任選一天參加公益活動共有種，
週六、週日都有同學參加公益活動有兩種情況：①一天一人一天三人有種；②每天2人有種，則周
六、週日都有同學參加公益活動的概率為；或間接解法：4位同學都在週六或週日參加公益活動有2種，則周
六、週日都有同學參加公益活動的概率為；選d.
6.如圖，圓o的半徑為1，a是圓上的定點，p是圓上的動點，角的始邊為射線，終邊為射線，過點作直線的垂線，垂足為，將點到直線的距離表示為的函式，則=在[0,]上的影象大致為
【答案】：b
【解析】：如圖：過m作md⊥op於ｄ，則 pm=，om=,在中，md=
，∴ ，選b. .
7.答案】：d
【解析】：輸入；時：；
時：；時：；
時：輸出. 選d.
8.【答案】：ｂ
【解析】：∵，∴
， ∴，即，選b
9. 【答案】：c
【解析】：作出可行域如圖：設，即，當直線過時，
，∴，∴命題、真命題，選c.
10.【答案】：c
【解析】：過q作qm⊥直線l於m，∵
∴，又，∴，由拋物線定義知
11【答案】：b
【解析1】：由已知，，令，得或，
當時，；
且，有小於零的零點，不符合題意。
當時，要使有唯一的零點且＞0，只需，即，．選b
【解析2】：由已知， =有唯一的正零點，等價於
有唯一的正零根，令，則問題又等價於有唯一的正零根，即與有唯一的交點且交點在在y軸右側記，，由，，，
，要使有唯一的正零根，只需，選b
12.【答案】：c
【解析】：如圖所示，原幾何體為三稜錐，
其中，，故最長的稜的長度為，選c
二．填空題：本大題共四小題，每小題5分。
13.【答案】：20
【解析】：展開式的通項為，
∴， ∴的展開式中的項為，故係數為20。
14.【答案】：a
【解析】：∵丙說：三人同去過同乙個城市，甲說沒去過b城市，乙說：我沒去過c城市
∴三人同去過同乙個城市應為ａ，∴乙至少去過ａ，若乙再去城市b，甲去過的城市至多兩個，不可能比乙多，∴可判斷乙去過的城市為ａ.
15.【答案】：
【解析】：∵，∴o為線段bc中點，故bc為的直徑，
∴，∴與的夾角為。
16.【答案】：
【解析】：由且，
即，由及正弦定理得：
∴，故，∴，∴
，∴，三.解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.【解析】：(ⅰ)由題設，，兩式相減
，由於，所以6分
（ⅱ）由題設=1，，可得，由(ⅰ)知
假設{}為等差數列，則成等差數列，∴，解得；
證明時，{}為等差數列：由知
數列奇數項構成的數列是首項為1，公差為4的等差數列
令則，∴
數列偶數項構成的數列是首項為3，公差為4的等差數列
令則，∴
∴（），
因此，存在存在，使得{}為等差數列12分
18. 【解析】：(ⅰ) 抽取產品質量指標值的樣本平均數和樣本方差分別為
6分（ⅱ）（ⅰ）由(ⅰ)知～，從而
………………9分
（ⅱ）由（ⅰ）知，一件產品中質量指標值為於區間（187.8,212.2）的概率為0.6826
依題意知，所以 ………12分
19. 【解析】：(ⅰ)鏈結，交於o，鏈結ao．因為側面為菱形，所以 ，且o為與的中點．又，所以平面，故又，故6分
（ⅱ）因為且o為的中點，所以ao=co 又因為ab=bc ，所以
故oa⊥ob ，從而oa，ob，兩兩互相垂直．
以o為座標原點，ob的方向為x軸正方向，ob為單位長，建立如圖所示空間直角座標系o-．因為，所以為等邊三角形．又ab=bc ，則
，，，， 設是平面的法向量，則
，即所以可取
設是平面的法向量，則，同理可取
則，所以二面角的余弦值為.
20. 【解析】：(ⅰ) 設 ，由條件知，得又，
所以a=2 ， ,故的方程6分
（ⅱ）依題意當軸不合題意，故設直線l：，設
將代入，得，
當，即時，
從而又點o到直線pq的距離，所以opq的面積
，設，則，，
當且僅當，等號成立，且滿足，所以當opq的面積最大時，的方程為： 或12分
21.【解析】：(ⅰ) 函式的定義域為，
由題意可得 ，故6分
（ⅱ）由(ⅰ)知， ，從而等價於
設函式 ，則，所以當時， ，當時， ，故在單調遞減，在單調遞增，從而在的最小值為8分
設函式 ，則，所以當時， ，當時， ，故在單調遞增，在單調遞減，從而在的最小值為 .
綜上：當時，，即12分
22.（本小題滿分10分）選修4—1：幾何證明選講
如圖，四邊形abcd是⊙o的內接四邊形，ab的延長線與dc的延長線交於點e，且cb=ce
.(ⅰ)證明：∠d=∠e；
（ⅱ）設ad不是⊙o的直徑，ad的中點為m，且mb=mc，證明：△ade為等邊三角形.
【解析】：.(ⅰ) 由題設知得a、b、c、d四點共圓，所以d=cbe，由已知得， cbe=e ,
所以d=e5分
（ⅱ）設bcn中點為，連線mn,則由mb=mc ,知mn⊥bc 所以o在mn上，又ad不是o的直徑，m為ad中點，故om⊥ad， 即mn⊥ad，所以ad//bc,故a=cbe， 又cbe=e，故a=e 由(ⅰ)（1）知d=e， 所以△ade為等邊三角形10分
23. （本小題滿分10分）選修4—4：座標系與引數方程
已知曲線：，直線：（為引數）.
(ⅰ)寫出曲線的引數方程，直線的普通方程；
（ⅱ）過曲線上任一點作與夾角為的直線，交於點，求的最大值與最小值.
【解析】：.(ⅰ) 曲線c的引數方程為： （為引數），
直線l的普通方程為5分
（ⅱ）（2）在曲線c上任意取一點p (2cos,3sin)到l的距離為
，則 ，其中為銳角．且.
當時，取得最大值，最大值為；
當時，取得最小值，最小值為10分
24. （本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講
若，且.
(ⅰ) 求的最小值；
（ⅱ）是否存在，使得？並說明理由.
【解析】：(ⅰ) 由，得，且當時等號成立，
故，且當時等號成立，
∴的最小值為5分
（ⅱ）由，得，又由(ⅰ)知，二者矛盾，
所以不存在，使得成立10分
2019高考數學 理科 真題 新課標
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