§2.3 數學歸納法(2)
【學情分析】：
數學歸納法是一種特殊的直接證明的方法，在證明一些與正整數n（n取無限多個值）有關的數學命題時，數學歸納法往往是非常有用的研究工具，它通過有限個步驟的推理，證明n取無限多個正整數的情形。本節課是在上節課的基礎上進上步熟悉數學歸納法的證題原理及步驟。
【教學目標】：
（1）知識與技能：理解「歸納法」和「數學歸納法」的含意和本質；掌握數學歸納法證題的兩個步驟乙個結論；會用「數學歸納法」證明與正整數有關的數學命題。
（2）過程與方法：初步掌握歸納與推理的方法；培養大膽猜想，小心求證的辯證思維素質。
（3）情感態度與價值觀：培養學生對於數學內在美的感悟能力。
【教學重點】：
進一步鞏固對數學歸納法的基本思想的認識，掌握它的基本步驟(特別要注意遞推步驟中歸納假設的運用和恒等變換的運用)，運用它證明一些與正整數有關的數學命題。
【教學難點】：
如何理解數學歸納法證題的有效性；遞推步驟中如何利用歸納假設。
【教學過程設計】：
【練習與測試】：
1． 使用數學歸納法證明，若不等式成立，則n的取值範圍是（ ）
ab. cd.
答案：d
解：當n取第乙個值5時，命題成立。
2．用數學歸納法證明「」，要證明第一步時，左邊的式子
答案：。
3．當時，求證：。
證明：（1）當n=1時，左式=，右式=1，，原不等式成立。
（2）假設當n=k時，原不等式成立，即
則當n=k+1時，左式=
所以n=k+1時結論成立
綜合（1）（2）原不等式對於任意均成立。
4. 用數學歸納法證明：「成立，（）」，第二步從n=k到n=k+1時，左式有什麼變化？
答案：左端增加了兩項（2k+1）、（2k+2），還少了一項（k+1）。
解：當n=k時，左式=
5．已知f(x)是定義在（-∞，+∞）上的不恒為零的函式，且對定義域內的任意x,y,f(x)都滿足。（1）求的值；（2）判斷f(x)的奇偶性，並說明理由；（3）證明：。
解：（1）∵f(x)對任意x,y,f(x)都有
∴（2）∵f(x)對任意x,y,f(x)都有
∴將 f(-1)=0 代入得 f(-t)=-f(t)
∴函式f(x)是（-∞，+∞）上的歌奇函式。
證明：（3）用數學歸納法：
1 當n=1時，左邊=f(a1)=f(a)，右邊=，等式成立。
2 假設當n=k時，等式成立，即，則當n=k+1時，有
這表明當n=k+1時等式也成立。
綜合①②可知，對任意正整數，等式成立。
6. 是否存在實數a,b,c,使得等式對任何正整數n都成立，並證明你的結論。
解：假設存在a,b,c使題設的等式成立，這時令n=1,2,3,有
故於是，對n=1,2,3,下面等式成立，
。（*）
下面證明上式對任何正整數n都成立
證明：（1）當n=1時，左式，左式=右式，所以（*）式成立。
（2）假設n=k時（*）式成立，即有
那麼，當n=k+1時，
也就是說，（*）式對n=k+1也成立。
綜合(1)(2)，當a=3,b=11,c=10時，題設對一切自然數n均成立。
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