江門市2023年高考模擬考試
數學（理科）
本試卷共4頁，21小題，滿分150分，考試用時120分鐘。
注意事項：
1． 答題前，考生務必把自己的姓名、考生號等填寫在答題卡相應的位置上。
2． 做選擇題時，必須用2b鉛筆把答題卷上對應題目的答案標號塗黑，如需改動，用橡皮擦乾淨後，再選塗其它答案標號。
3． 非選擇題必須使用黑色字跡鋼筆或簽字筆，將答案寫在答題卡規定的位置上。
4． 所有題目必須在答題卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案無效。
5． 考生必須保持答題卡的整潔。考試結束後，將答題卡交回。
參考公式：錐體的體積公式，其中是錐體的底面積，是錐體的高．
如果事件、互斥，那麼．
用最小二乘法求線性回歸方程係數公式，，．
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．是虛數單位，
a． b． c． d．
2．函式的定義域為實數集，「是奇函式」是「是偶函式」的
a．充分非必要條件b．必要非充分條件
c．非充分非必要條件d．充要條件
3．是等差數列，與的等差中項為1，與的等差中項為2，則公差
a． b． c． d．
4．函式在區間上單調遞增，常數的值可能是
a． b． c． d．
5．雙曲線：的兩條漸近線夾角（銳角）為，則
a． b． c． d．
6．乙個四面體如圖1，若該四面體的正檢視（主檢視）、
側檢視（左檢視）和俯檢視都是直角邊長為1的等腰
直角三角形，則它的體積
a． b． c． d．
7．的二項展開式17個項中，整式的個數是
a． b． c． d．
8．設，集合，，記「從集合中任取乙個元素，」為事件，「從集合中任取乙個元素，」為事件．給定下列三個命題：
①當，時，；
②若，則，；
③恆成立．
其中，為真命題的是
a．①② b．①③ c．②③ d．①②③
二、填空題：本大題共7小題，考生作答4小題，每小題5分，滿分30分．
(一)必做題（9～13題）
9．不等式的解集為 ．
10．已知拋物線：的焦點為，是上一點，
若在第一象限，，則點的座標為 ．
11．若變數、滿足約束條件，則
的最大值
12．執行如圖2所示的程式框圖，輸出的結果 ．
13．已知與之間的幾組資料如下表：
假設根據上表資料所得線性回歸方程為，根據中間兩組資料（4，3）和（5，4）求得的直線方程為，則，．（填「」或「」）
(二)選做題（14、15題，考生只能從中選做一題）
14．（座標系與引數方程選做題）在極座標系中，曲線上到直線的距離為1的點的個數是
15．（幾何證明選講選做題）如圖3，圓的弦、相交於
點，若，，則
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16．（本小題滿分12分）
已知頂點的直角座標分別是、、．
⑴求的值；
⑵若，證明：、、三點共線．
17．（本小題滿分13分）
某樹苗培育基地為了解其基地內榕樹樹苗的長勢情況，隨機抽取了100株樹苗，分別測出它們的高度（單位：），並將所得資料分組，畫出頻率分布表如下：
⑴求上表中、的值；
⑵估計該基地榕樹樹苗平均高度；
⑶基地從上述100株榕樹苗中高度在[108，112)範圍內的樹苗中隨機選出5株進行育種研究，其中在[110，112)內的有株，求的分布列和期望．
18．（本小題滿分14分）
設數列的前項和，．
⑴求的值；
⑵求數列的通項公式；
⑶證明：對一切正整數，有．
19．（本小題滿分13分）
如圖4，直四稜柱的底面是菱形，側面是正方形，，是稜的延長線上一點，經過點、、的平面交稜於點，．
⑴求證：平面平面；
⑵求二面角的平面角的余弦值．
20．（本小題滿分14分）
平面直角座標系中，橢圓：（）的離心率為，焦點為、，直線：經過焦點，並與相交於、兩點．
⑴求的方程；
⑵在上是否存在、兩點，滿足，？若存在，求直線的方程；若不存在，說明理由．
21．（本小題滿分14分）
設函式，是自然對數的底數，，為常數．
⑴若在處的切線的斜率為，求的值；
⑵在⑴的條件下，證明切線與曲線在區間至少有1個公共點；
⑶若是的乙個單調區間，求的取值範圍．
評分參考
一、選擇題 bacd dcbb
二、填空題 ⒐或（每個區間2分，在此基礎上正確用區間或集合表示1分；若混淆閉區間與開區間則扣該區間1分。）
⒑（若寫成或給3分，其他不給分）
若兩空一對一錯，給3分
三、解答題
⒗⑴（方法一），，……3分
……6分（公式2分）
（方法二），……2分
……6分（公式2分）
⑵（方法一），……9分
∵，∴、共線……11分
∵、有共同的始點，∴、、三點共線……12分
（方法二）經過、兩點的直線的方程為
（即）……9分
設，由得……10分
解得……11分
∵（或），∴(在上)、、三點共線……12分
⒘⑴，……2分
⑵估計該基地榕樹樹苗平均高度為
()……6分
（列式2分，求值1分，文字說明與單位完整1分。）
⑶由頻率分布表知樹苗高度在[108，112)範圍內的有9株，在[110，112)範圍內的有3株，因此的所有可能取值為0，1，2，3……7分
，，，……11分
的分布列為
……12分
的期望為……13分（列式正確1分）
⒙⑴……1分
⑵時，……4分（上式每個等號1分）
時，，所以，……5分
⑶由⑵知，時，……7分
……9分
……11分
……12分，……13分
∵單調遞增，∴，……14分
⒚⑴設四稜柱的稜長為
∵，∽，∴……1分
由，，得，……2分
∵，∴，……3分
是直四稜柱，，又，∴，∵，∴平面……4分
∵平面，∴平面平面……5分
⑵（方法一）過作於，於，連線……6分
由平面平面，平面平面，
平面……7分
∴，又，，∴平面，，是二面角的平面角……9分
在中，，，，，在中，，，，（、求得任何乙個給2分，兩個全對給3分）……12分
，……13分
（方法二）以為原點，、所在直線為軸、軸，平行於的直線為軸建立空間直角座標系……6分，則
，，……7分
設平面的乙個法向量為，則……9分，即，不妨取……10分，由⑴知，……11分，平面的乙個法向量為
……12分，二面角的平面角的余弦值……13分
⒛⑴依題意，……2分，由得……3分
，橢圓的方程為……4分
⑵（方法一）若存在滿足條件的直線，∵，∴，設直線的方程為……5分
由……6分，得……7分
，（*）
……8分
設，，則，……9分
由已知，若線段的中點為，則，……10分
，即……11分
由……12分，解得……13分
時，，與（*）矛盾，∴不存在滿足條件的直線
……14分
（方法二）假設存在，，線段的中點為，則，……5分
由兩式相減得：
……7分，代入、化簡得： ①……8分
由已知，則，……9分
由得， ②……10分
由①②解得，即……11分
直線cd的方程為：……12分
聯立得……13分
∵，方程（組）無解，∴不存在滿足條件的直線
……14分
21．⑴……1分
依題意，，解得……2分
⑵由⑴，直線的方程為，即……3分
作，則……4分，……5分（用其他適當的數替代亦可）
因為在上是連續不斷的曲線，，在內有零點，，從而切線與曲線在區間至少有1個公共點……6分
⑶，是的乙個單調區間當且僅當在上恆大於等於零，或恆小於等於零，由，作
，由得……7分
……9分
在上的最小值為，所以，當且僅當時，在上單調遞增……11分
下面比較與的大小
（方法一）由，，以及在上單調遞減得……12分
……13分
，∴，當且僅當時，在上單調遞減，綜上所述，的取值範圍為……14分
（方法二）由，，以及的單調性知，……12分
由知，單調遞減……13分
由得，，，∴，當且僅當時，在上單調遞減，綜上所述，的取值範圍為……14分
（「單調遞增……11分」以下，若直接寫，再給1分）
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