絕密★啟用前試卷型別：a
2023年深圳市高三年級第一次調研考試
數學（理科2011.3
本試卷共6頁，21小題，滿分150分．考試用時120分鐘．
注意事項：
1．答卷前，考生首先檢查答題卡是否整潔無缺損，監考教師分發的考生資訊條形碼是否正確；之後務必用0.5公釐黑色字跡的簽字筆在答題卡指定位置填寫自己的學校、姓名和考生號，同時，將監考教師發放的條形碼正向準確貼上在答題卡的貼條形碼區，請保持條形碼整潔、不汙損．
2．選擇題每小題選出答案後，用2b鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號塗黑，如需改動，用橡皮擦乾淨後，再選塗其它答案，答案不能答在試卷上．不按要求填塗的，答案無效．
3．非選擇題必須用0.5公釐黑色字跡的簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上，請注意每題答題空間，預先合理安排；如需改動，先劃掉原來的答案，然後再寫上新的答案；不准使用鉛筆和塗改液．不按以上要求作答的答案無效．
4．作答選做題時，請先用2b鉛筆填塗選做題的題號對應的資訊點，再做答．漏塗、錯塗、多塗的答案無效．
5．考生必須保持答題卡的整潔，考試結束後，將答題卡交回．
參考公式：
如果事件互斥，那麼；
如果事件相互獨立，那麼；
若柱體的底面積為，高為，則柱體的體積為；
若錐體的底面積為，高為，則錐體的體積為．
一、選擇題：本大題共8個小題；每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的．
1．已知，若（其中為虛數單位），則
ab．cd．2．已知「」， 「直線與圓相切」．則是的
a．充分非必要條件b．必要非充分條件
c．充要條件d．既非充分也非必要條件
3．已知為等差數列的前項和，若，，則的值為
abcd．
4．如圖，圓內的正弦曲線與軸圍成的區域記為（圖中陰影部分），隨機往圓內投乙個點，則點落在區域內的概率是
ab．cd．5．在一條公路上每隔10公里有乙個倉庫，共有5個倉庫．一號倉庫存有10噸貨物，二號倉庫存有20噸貨物，五號倉庫存有40噸貨物，其餘兩個倉庫是空的．現在要把所有的貨物集中存放在乙個倉庫裡，若每噸貨物運輸1公里需要0.5元運輸費，則最少需要的運費是
a．450元b．500元c．550元d．600元
6．乙個幾何體的三檢視如圖所示，則該幾何體的體積為
a．2b．1
c． d．
7．設平面區域d是由雙曲線的兩條漸近線和直線所圍成三角形的邊界及內部．當時，的最大值為
a．24b．25c．4d．7
8．已知函式的定義域為，部分對應值如下表．的導函式的圖象如圖所示．
下列關於函式的命題：
①函式是週期函式；
②函式在是減函式；
③如果當時，的最大值是2，那麼的最大值為4；
④當時，函式有4個零點．
其中真命題的個數有
a．4個b．3個
c．2個d．1個
二、填空題：本大題共7小題，每小題5分，滿分30分．本大題分為必做題和選做題兩部分．
（一）必做題：第9、10、11、12、13題為必做題，每道試題考生都必須作答．
9．已知全集，集合為函式的定義域，則= ．
10．設隨機變數，且，則實數的值為 ．
11．在中，已知分別為，，所對的邊，為的面積．若向量滿足，則= ．
12．已知命題「，」是假命題，則實數的取值範圍是 ．
13．已知為如圖所示的程式框圖中輸出的結果，則二項式的展開式中含項的係數是
（注：框圖中的賦值符號「=」也可以寫成「」或
「：=」 ）
（二）選做題：第14、15題為選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計算前一題的得分．
14．（座標系與引數方程）在極座標系中，設p是直線上任一點，是圓上任一點，則的最小值是
15．（幾何證明選講）如圖，割線經過圓心，，繞點逆時針旋轉到，連交圓於點，則 ．
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16．（本小題滿分12分）
已知函式．
（1）求的最小正週期；
（2）若將的圖象向右平移個單位，得到函式的圖象，求函式在區間上的最大值和最小值．
17．（本小題滿分12分）
第26屆世界大學生夏季運動會將於2023年8月12日至23日在深圳舉行，為了搞好接待工作，組委會在某學院招募了12名男志願者和18名女志願者．將這30名志願者的身高編成如下莖葉圖（單位：cm）：
男女9 15 7 7 8 9 9
9 8 16 1 2 4 5 8 9
8 6 5 0 17 2 3 4 5 6
7 4 2 1 18 0 1
1 19
若身高在175cm以上（包括175cm）定義為「高個子」，身高在175cm以下（不包括175cm）定義為「非高個子」，且只有「女高個子」才能擔任「禮儀小姐」．
（1）如果用分層抽樣的方法從「高個子」和「非高個子」中抽取5人，再從這5人中選2人，那麼至少有一人是「高個子」的概率是多少？
（2）若從所有「高個子」中選3名志願者，用表示所選志願者中能擔任「禮儀小姐」的人數，試寫出的分布列，並求的數學期望．
18．（本小題滿分14分）
如圖，是圓的直徑，點在圓上，，交於點，平面，，．
（1）證明：；
（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．
19．（本小題滿分14分）
已知點是橢圓的右焦點，點、分別是軸、軸上的動點，且滿足．若點滿足．
（1）求點的軌跡的方程；
（2）設過點任作一直線與點的軌跡c交於、兩點，直線，與直線分別交於點，（為座標原點），試判斷是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．
20．（本小題滿分14分）
已知數列是各項均不為0的等差數列，公差為，為其前項和，且滿足，．數列滿足，為數列的前項和．
（1）求，和；
（2）若對任意的，不等式恆成立，求實數的取值範圍；
（3）是否存在正整數，使得成等比數列？若存在，求出所有的值；若不存在，請說明理由．
21．（本小題滿分14分）
已知函式．
（1）當時，如果函式僅有乙個零點，求實數的取值範圍；
（2）當時，試比較與1的大小；
（3）求證： ．
2023年深圳市高三年級第一次調研考試
數學(理科)答案及評分標準
說明：一、本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據試題的主要考查內容比照評分標準制訂相應的評分細則．
二、對計算題當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果後續部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定給分，但不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果後續部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．
三、解答右端所註分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數．
四、只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分數．
一、選擇題：本大題每小題5分，滿分40分．
二、填空題：本大題每小題5分，滿分30分．
9101112．．
13．． 14．． 15．．
三、解答題
16．（本小題滿分12分）
已知函式．
（1）求的最小正週期；
（2）若將的圖象向右平移個單位，得到函式的圖象，求函式在區間上的最大值和最小值．
解：（1）
2分4分 所以的最小正週期為6分
（2）將的圖象向右平移個單位，得到函式的圖象， 8分
時9分當，即時，，取得最大值2． …………10分
當，即時，，取得最小值．………12分
【說明】 本小題主要考查了三角函式中誘導公式、兩角和與差的正余弦公式、二倍角公式、三角函式的性質和圖象，以及圖象變換等基礎知識，考查了化歸思想和數形結合思想，考查了運算能力．
17．（本小題滿分12分）
第26屆世界大學生夏季運動會將於2023年8月12日至23日在深圳舉行，為了搞好接待工作，組委會在某學院招募了名男志願者和名女志願者，調查發現，這名志願者的身高如下：（單位：cm ）
男女9 15 7 7 8 9 9
9 8 16 1 2 4 5 8 9
8 6 5 0 17 2 3 4 5 6
7 4 2 1 18 0 1
1 19
若身高在cm以上（包括cm）定義為「高個子」，身高在cm以下定義為「非高個子」，且只有「女高個子」才能擔任「禮儀小姐」．
（1）如果用分層抽樣的方法從「高個子」和「非高個子」中抽取人，再從這人中選人，則至少有一人是「高個子」的概率是多少？
（2）若從所有「高個子」中選名志願者，用表示所選志願者中能擔任「禮儀小姐」的人數，試寫出的分布列，並求的數學期望．
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