【高效整合篇】
一．考場傳真
1.【2015高考天津，理8】已知函式函式，其中，若函式恰有4個零點，則的取值範圍是( )
（ab） （c） （d）
【答案】d
【解析】由得，
所以，即
,所以恰有4個零點等價於方程
有4個不同的解，即函式與函式的圖象的4個公共點，由圖象可知.
2.【2015高考北京，理14】設函式
①若，則的最小值為 ；
②若恰有2個零點，則實數的取值範圍是 ．
【答案】(1)1，(2)或.
②若函式與軸有無交點，則函式與軸有兩個交點，當時與軸有無交點，在與軸有無交點，不合題意；當時，，與軸有兩個交點，和，由於，兩交點橫座標均滿足；綜上所述的取值範圍或.
3.【2015高考浙江，理18】已知函式，記是在區間上的最大值.
（1）證明：當時，；
（2）當，滿足，求的最大值.
【答案】（1）詳見解析；（2）.
試題分析：（1）分析題意可知在上單調，從而可知
，分類討論的取值範圍即可求解.；（2）分析題意可知
，再由可得，
，即可得證.
試題解析：（1）由，得對稱軸為直線，由，得
，故在上單調，∴，當時，由
，得，即，當時，由
，得，即，綜上，當時，
；（2）由得，，故，，由，得，當，時，，且在上的最大值為，即，∴的最大值為.
二．高考研究
1.考綱要求
理解二次函式的三中表示方法：解析法，圖象法和列表法，理解二次函式的單調性，能判定二次函式在某個區間上是否存在零點，理解二次的最大（小）值及其幾何意義，並能求二次函式的最大（小）值.
2.命題規律
從近幾年的浙江高考試卷來看,對二次函式及其綜合問題的考查是重點,常以解答題的形式出現,並常作為壓軸題,難度較大.常見的命題形式有:一是與二次函式相關的最值問題,特別是含有引數的討論,考查分類討論思想的應用能力;二是對三個「二次」的綜合考查,二次函式、一元二次方程和一元二次不等式是乙個有機的整體,三者之間的互相轉化是考查的重點,深刻理解它們之間的相互關係是解題的關鍵;三是二次函式與函式的零點、不等式、數列等綜合在一起考查,通常會體現知識點的交匯,含多個引數的分類討論、含絕對值的不等式證明、不等式恆成立等諸多問題,考查函式與方程思想、等價轉化思想的靈活應用能力.
一．基礎知識整合
1．數形結合是討論二次函式問題的基本方法．特別是涉及二次方程、二次不等式的時候常常結合圖形尋找思路．
2．含字母係數的二次函式問題經常使用的方法是分類討論．比如討論二次函式的對稱軸與給定區間的位置關係，又例如牽涉二次不等式需討論根的大小等．
3．關於二次函式y＝f(x)對稱軸的判斷方法：
(1)對於二次函式y＝f(x)對定義域內所有x，都有f(x1)＝f(x2)，那麼函式y＝f(x)影象的對稱軸方程為：x＝.
(2)對於一般函式y＝f(x)對定義域內所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立，那麼函式y＝f(x)影象的對稱軸方程為：x＝a(a為常數)．
(3)對於一般函式y＝f(x)對定義域內所有x，都有f(x＋2a)＝f(－x)，那麼函式y＝f(x)影象的對稱軸方程為：x＝a(a為常數)．
注意：(2)，(3)中，f(a＋x)＝f(a－x)與f(x＋2a)＝f(－x)是等價的．
(4)利用配方法求二次函式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)對稱軸方程為x＝－；
(5)利用方程根法求對稱軸方程．若二次函式y＝f(x)對應方程為f(x)＝0兩根為x1、x2，那麼函式y＝f(x)影象的對稱軸方程為：x＝.
4．對於函式y＝ax2＋bx＋c要認為它是二次函式，就必須認定a≠0，當題目條件中未說明a≠0時，就要討論a＝0和a≠0兩種情況．
5．對於二次函式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)給定了定義域為乙個區間[k1，k2]時，利用配方法求函式的最值是極其危險的，一般要討論函式影象的對稱軸在區間外、內的情況，有時要討論下列四種情況：
①－二．高頻考點突破
考點1 二次函式的最值問題
【例1】【2015-2016學年重慶市一中期中】對於任意，函式的值非負，則實數的最小值為（ ）
ab、-5c、-3d、-2
分析：分類討論將絕對值號去掉，利用二次函式的性質即可求解.
解析：由四個選項可知，所以原函式式去掉絕對值轉化為
，結合二次函式單調性可知當時函式遞減，當時遞減，當時遞增，當時遞增，所以函式的最小值為，所以的最小值為2，故選d.
【舉一反三】【2015-2016學年浙江省杭州二中期末】對一切實數，二次函式的值均為非負實數，則的最小值是
【答案】-1
【例2】【2016屆浙江省臨海市台州中學高三上第三次統練】設函式．
（1）當時，記函式在[0，4]上的最大值為，求的最小值；
（2）存在實數，使得當時，恆成立，求的最大值及此時的值．
分析：討論二次函式對稱軸的位置，根據二次函式的性質求解.
解析：（1）當，,對稱軸為．
所以的最大值．
所以的最小值為．
（2）顯然．．①當時，只需滿足由及，得，與矛盾．②當時，只需滿足由，得，∴，與矛盾．③當時，只需滿足由①，②得．由②，③得，又，∴，即，再結合②得，④∴．當時，由④得，此時滿足①，②，③及．
綜上所述，的最大值為，此時．
【舉一反三】【2016屆浙江省溫州市十校聯合體高三上學期期初聯考】已知二次函式滿足條件：
①當時，，且；②當時，；
③在r上的最小值為0
（1）求的解析式；
（2）求最大的m(m>1)，使得存在，只要，就有.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由知，對稱軸為，由③知開口向上，即，
故設，由①知；由②知，故，代入得，，所以；（2）由題意，在區間上函式的影象在直線的下方，且最大，故1和是關於的方程……①的兩個根，令x=1代入①，得t=0或t=-4，當t=0時，方程①的解為（這與m>1矛盾）.當t=-4時，方程①的解為，所以m=9. 又當t=-4時，對任意，恒有，即，所以的最大值為9.
考點2 分類討論的思想解決二次函式與其他知識點交匯的問題
【例3】【2015-2016學年浙江省平湖市當湖中學月考】設二次，不等式的解集是．
（1）求；
（2）當函式的定義域是時，求函式的最大值．
分析：對的取值分類討論，即可求解.
（2）當，
當， 當，
.【舉一反三】【2015浙江溫州二適，理19】已知函式．
（1）若在區間上不單調，求的取值範圍；
（2）若對於任意的，存在，使得，求的取值範圍．
解：（1）
（2）（i）當時，即時，
， ，所以
（ii）當時，即時，
， ，，
綜上，，故，所以
三．錯混辨析
1.無法正確畫出函式圖象.
【例1】已知定義在r上的函式f(x)滿足：f(x)＝且f(x＋2)＝f(x)，g(x)＝，則方程f(x)＝g(x)在區間[－5,1]上的所有實根之和為( )
a．－5b．－6c．－7d．－8
【錯原】：無法正確畫出函式圖象，轉折點的標記.
【正解】：由題意知g(x)＝＝＝2＋，函式f(x)的週期為2，則函式f(x)，g(x)在區間[－5,1]上的圖象如圖所示：
由圖形可知函式f(x)，g(x)在區間[－5,1]上的交點為a，b，c，
易知點b的橫座標為－3，若設c的橫座標為t(02.不理解題意.
【例2】已知，函式．
（1）若函式在上單調，求實數的取值範圍；
（2）若存在實數，滿足，.求當變化時，的取值範圍.
【錯原】無法將問題進行等價轉化，以及分類討論點的建立.
（ⅱ）因為滿足，不妨設 ，令，當時，
，當時，；
①當，且，
關於為增函式，
所以當時，；當，，所以；
②當，時，
即因為關於為增函式，且，所以
，又當時， 關於軸對稱，從而可以
取到。所以當變化時，。綜上，的取值範圍為．
1.【2015浙江省溫州中學期中】若二次函式滿足則的取值範圍為_____
【答案】
【解析】∵f（x）=ax2+2x-a，∴f（0）=-a， f（2）=3a+4，f（3）=8a+6，f（4）=15a-8，∵f（0）＜f（4）＜f（3）＜f（2）∴-a＜15a-8＜8a+6＜3a+4，解不等式可得，,故答案為：
2.【2015江蘇省揚州中學期中】不等式a2+8b2≥λb（a+b）對於任意的a，b∈r恆成立，則實數λ的取值範圍為_____.
【答案】
【解析】對於任意的恆成立.
對於任意的恆成立
即恆成立，
由二次不等式的性質可得，
解得：3.【2015湖北黃州區一中期中】已知不等式對於，恆成立，則實數的取值範圍是
【答案】
4.【2015浙江省慈溪中學高三第一學期10月月考】已知定義在r上的偶函式f(x)滿足：x∈r恒有f(x+2)=f(x)－f(1)．且當x∈［2，3］時，f(x)=－2(x－3)2．若函式y=f(x)－loga(x+1)在(0，+∞)上至少有三個零點，則實數a的取值範圍為
【答案】.
【解析】由題意得當時，即，又函式為偶函式，則有，所以，則有，可知函式的週期為2，並且當時，，可得函式在上的影象如圖所示，要使在上至少有三個零點，則，且，所以，即，則.
5.【2016嘉興高三期末】已知函式，設函式在區間上的最大值為．
（1）若，試求出；
（2）若對任意的，恆成立，試求出的最大值．
【答案】（1）；（2）的最大值．
22 二次函式專題
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