2.1證明在定態中，機率流與時間無關。
證：對於定態，可令
可見無關。
2.2 由下列定態波函式計算機率流密度：
從所得結果說明表示向外傳播的球面波，表示向內(即向原點) 傳播的球面波。
解：在球座標中
同向。表示向外傳播的球面波。
可見，反向。表示向內(即向原點) 傳播的球面波。
補充：設，粒子的位置機率分布如何？這個波函式能否歸一化？
∴波函式不能按方式歸一化。
其相對位置機率分布函式為
表示粒子在空間各處出現的機率相同。
2.3 一粒子在一維勢場
中運動，求粒子的能級和對應的波函式。
解：無關，是定態問題。其定態s—方程
在各區域的具體形式為
由於(1)、(3)方程中，由於，要等式成立，必須
即粒子不能運動到勢阱以外的地方去。
方程(2)可變為
令，得其解為根據波函式的標準條件確定係數a，b，由連續性條件，得
⑥由歸一化條件
得由 可見e是量子化的。
對應於的歸一化的定態波函式為
2.4. 證明（2.6-14）式中的歸一化常數是
證2.6-14）
由歸一化，得
∴歸一化常數
2.7 一粒子在一維勢阱中
運動，求束縛態()的能級所滿足的方程。
解法一：粒子所滿足的s-方程為
按勢能的形式分區域的具體形式為
整理後，得
令 則
各方程的解為
由波函式的有限性，有
因此由波函式的連續性，有
整理(10)、(11)、(12)、(13)式，並合併成方程組，得
解此方程即可得出b、c、d、f，進而得出波函式的具體形式，要方程組有非零解，必須
∵∴即為所求束縛態能級所滿足的方程。#
解法二：接（13）式
#解法三：
(11)-(13)
(10)+(12)
(11)+(13)
(12)-(10)
令則合併：
利用#解法四：（最簡方法-平移座標軸法）
0）0＜χ＜2）
2）束縛態＜＜
因此由波函式的連續性，有
(7)代入(6)
利用(4)、(5)，得
補充練習題一
1、設，求a = ？
解：由歸一化條件，有
利用 2、求基態微觀線性諧振子在經典界限外被發現的機率。
解：基態能量為
設基態的經典界限的位置為，則有
在界限外發現振子的機率為
式中為正態分佈函式
當。查表得
∴ ∴在經典極限外發現振子的機率為0.16
3、試證明是線性諧振子的波函式，並求此波函式對應的能量。
證：線性諧振子的s-方程為
把代入上式，有
把代入①式左邊，得
當時，左邊 = 右邊。 n = 3
，是線性諧振子的波函式，其對應的能量為。
3.1 一維諧振子處在基態，求：
(1)勢能的平均值；
(2)動能的平均值；
(3)動量的機率分布函式。
解：(1)
2) 或
(3)動量機率分布函式為
# 3.2.氫原子處在基態，求：
(1)r的平均值；
(2)勢能的平均值；
(3)最可幾半徑；
(4)動能的平均值；
(5)動量的機率分布函式。
解：(1)
(3)電子出現在r+dr球殼內出現的機率為
令當為機率最小位置
∴是最可幾半徑。
(4)(5)動量機率分布函式
#3.3 證明氫原子中電子運動所產生的電流密度在球極座標中的分量是
證：電子的電流密度為
在球極座標中為
式中為單位向量
中的和部分是實數。
可見#3.4 由上題可知，氫原子中的電流可以看作是由許多圓周電流組成的。
(1)求一圓周電流的磁矩。
(2)證明氫原子磁矩為
原子磁矩與角動量之比為
這個比值稱為迴轉磁比率。
解：(1) 一圓周電流的磁矩為
為圓周電流，為圓周所圍面積）
2)氫原子的磁矩為
在單位制中
原子磁矩與角動量之比為
量子力學周世勳習題解答第四章
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