第一章緒論
1.1．由黑體輻射公式匯出維恩位移定律：。
證明：由蒲朗克黑體輻射公式：
，及、得
，令，再由，得.所滿足的超越方程為
用**法求得，即得，將資料代入求得
1.2．在0k附近，鈉的價電子能量約為3ev,求de broglie波長.
解： #
1.3. 氦原子的動能為，求時氦原子的de broglie波長。
解： 其中，
#1.4利用玻爾—索末菲量子化條件，求：
（1）一維諧振子的能量。
（2）在均勻磁場中作圓周運動的電子的軌道半徑。
已知外磁場，玻爾磁子，求動能的量子化間隔，並與及的熱運動能量相比較。
解：（1）方法1：諧振子的能量
可以化為
的平面運動，軌道為橢圓，兩半軸分別為，相空間面積為
所以，能量
方法2：一維諧振子的運動方程為，其解為
速度為 ，動量為，則相積分為
， ，（2）設磁場垂直於電子運動方向，受洛侖茲力作用作勻速圓周運動。由，得
再由量子化條件，以分別表示廣義座標和相應的廣義動量，所以相積分為
，，由此得半徑為，。
電子的動能為
動能間隔為
熱運動能量（因是平面運動，兩個自由度）為，所以當時，；當時，
1.5 兩個光子在一定條件下可以轉化為正負電子對，如果兩個光子的能量相等，問要實現這種轉化，光子波長最大是多少？
解：轉化條件為，其中為電子的靜止質量，而，所以，即有
（電子的康普頓波長）。
第二章波函式和薛丁格方程
2.1.證明在定態中，機率流與時間無關。
證：對於定態，可令
可見無關。
2.2 由下列定態波函式計算機率流密度：
從所得結果說明表示向外傳播的球面波，表示向內(即向原點) 傳播的球面波。
解：在球座標中
同向。表示向外傳播的球面波。
可見，反向。表示向內(即向原點) 傳播的球面波。
補充：設，粒子的位置機率分布如何？這個波函式能否歸一化？
∴波函式不能按方式歸一化。
其相對位置機率分布函式為
表示粒子在空間各處出現的機率相同。
2.3 一粒子在一維勢場
中運動，求粒子的能級和對應的波函式。
解：無關，是定態問題。其定態s—方程
在各區域的具體形式為
ⅲ：③由於(1)、(3)方程中，由於，要等式成立，必須
即粒子不能運動到勢阱以外的地方去。
方程(2)可變為
令，得其解為根據波函式的標準條件確定係數a，b，由連續性條件，得
⑥由歸一化條件
得由 可見e是量子化的。
對應於的歸一化的定態波函式為
2.4. 證明（2.6-14）式中的歸一化常數是
證由歸一化，得
∴歸一化常數
2.5 求一維諧振子處在激發態時機率最大的位置。
解：令，得由的表示式可知，時，。顯然不是最大機率的位置。
可見是所求機率最大的位置。
2.6 在一維勢場中運動的粒子，勢能對原點對稱：，證明粒子的定態波函式具有確定的宇稱。
證：在一維勢場中運動的粒子的定態s-方程為
將式中的代換，得
利用，得
比較①、③式可知，都是描寫在同一勢場作用下的粒子狀態的波函式。由於它們描寫的是同乙個狀態，因此之間只能相差乙個常數。方程①、③可相互進行空間反演而得其對方，由①經反演，可得③，
由③再經反演，可得①，反演步驟與上完全相同，即是完全等價的。
④乘 ⑤，得， 可見，，所以
當時，，具有偶宇稱，
當時，，具有奇宇稱，
當勢場滿足時，粒子的定態波函式具有確定的宇稱。
2.7 一粒子在一維勢阱中
運動，求束縛態()的能級所滿足的方程。
解：粒子所滿足的s-方程為
按勢能的形式分區域的具體形式為
整理後，得
令 則
各方程的解為
由波函式的有限性，有
因此由波函式的連續性，有
整理(10)、(11)、(12)、(13)式，並合併成方程組，得
解此方程即可得出b、c、d、f，進而得出波函式的具體形式，要方程組有非零解，必須
∵∴即為所求束縛態能級所滿足的方程。
方法二：接（13）式
另一解法：
(11)-(13)
(10)+(12)
(11)+(13)
(12)-(10)
令則合併：
利用2-7一粒子在一維勢阱
中運動，求束縛態的能級所滿足的方程。
解：（最簡方法-平移座標軸法）
0）0＜χ＜2）
2）束縛態＜＜
因此由波函式的連續性，有
(7)代入(6)
利用(4)、(5)，得
2.8分子間的范德瓦耳斯力所產生的勢能可以近似表示為
求束縛態的能級所滿足的方程。
解：勢能曲線如圖示，分成四個區域求解。
定態s-方程為
對各區域的具體形式為
ⅳ：對於區域ⅰ，，粒子不可能到達此區域，故
而 對於束縛態來說，有
各方程的解分別為
由波函式的有限性，得
由波函式及其一階導數的連續，得
由⑦、⑧，得11)
由 ⑨、⑩得
12) 令，則①式變為
聯立(12)、(13)得，要此方程組有非零解，必須
把代入即得
此即為所要求的束縛態能級所滿足的方程。
# 附：從方程⑩之後也可以直接用行列式求解。見附頁。
此即為所求方程。
第三章力學量的算符表示
3.1 一維諧振子處在基態，求：
(1)勢能的平均值；
(2)動能的平均值；
(3)動量的機率分布函式。
解：(1)
2) 或(3)
量子力學總結習題考卷及答案
玻爾的量子化條件，索末菲的量子化條件。黑體 能吸收射到其上的全部輻射的物體，這種物體就稱為絕對黑體，簡稱黑體。蒲朗克量子假說 表述1 對於一定頻率 的輻射，物體只能以h 為能量單位吸收或發射電磁輻射。表述2 物體吸收或發射電磁輻射時，只能以量子的方式進行，每個量子的能量為 h 表述3 物體吸收或發射...
周世勳量子力學答案
2.1證明在定態中，機率流與時間無關。證 對於定態，可令 可見無關。2.2 由下列定態波函式計算機率流密度 從所得結果說明表示向外傳播的球面波，表示向內 即向原點 傳播的球面波。解 在球座標中 同向。表示向外傳播的球面波。可見，反向。表示向內 即向原點 傳播的球面波。補充 設，粒子的位置機率分布如何...
喀興林高等量子力學習題
練習6.1 在按的本徵向量展開的 6.1 式中，證明若是歸一化的，則，即取各值的概率也是歸一化的。杜花偉 證明 若是歸一化的，則。根據 6.1 式 可得即取各值的概率是歸一化的。練習6.2 1 證明在定態中,所有物理量取各可能值的概率都不隨時間變化,因而,所有物理量的平均值也不隨時間改變.2 兩個定...