練習6.1 在按的本徵向量展開的（6.1）式中，證明若是歸一化的，則，即取各值的概率也是歸一化的。（杜花偉）
證明：若是歸一化的，則。根據(6.1)式
可得即取各值的概率是歸一化的。
#練習6.2 (1) 證明在定態中,所有物理量取各可能值的概率都不隨時間變化,因而,所有物理量的平均值也不隨時間改變.
(2) 兩個定態的疊加是不是定態? （杜花偉核對：王俊美）
(1)證明：在定態中,
則所以.
即所有物理量的平均值不隨時間變化.
(2)兩個定態的疊加不一定是定態.例如
當時,疊加後是定態;當時, 疊加後不是定態.
#6.3證明：當函式可以寫成x的多項式時，下列形式上含有對算符求導的公式成立：
（解答：陳玉輝核對：項朋）
證明：（1）
所以（2）所以#練習6.4 下面公式是否正確？（解答：陳玉輝核對：項朋）
解：不正確。
因為是x的函式，所以=0
#練習6.5 試利用符號，證明：（孟祥海）
（1）（2）
（3）證明：
（1）由於且是相互對易的，
所以，同上面的過程可以得到
（2）先計算：
由於。將上式展開可以得到：，再利用相同的道理可以推出：
（3）證明：
利用公式
即得證！
#6.6 試仿照的計算方法，計算和。（高召習）
解：由weyle規則，將物理量的經典式a(x，p)寫成為變數的傅利葉積分
1）將積分中指數上的x和p改為對應的算符x和p。所得結果即為與a(x，p)對應的算符式a（x，p）
2）首先計算（1）式中a(x，p)的傅利葉變換,取a(x，p)為，則有
3）對於有
(4)對於xp，n=1,m=1,將此式代入（2）得
即對於，n=2，m=2，將此式代入（2）得即#
練習6.7 證明的一般公式：
並利用此式計算。 （解答：田軍龍審核：邱鴻廣）
證明：#練習6.8 （樑端）
解：因為：
所以：欲求： 則：
所以：因為：
故： 在條件下
#練習6.9 一般認為乙個正確的對應關係應滿足：經典量的算符對應的平方，應當與經典的對應相同。試以為例，說明規則與規則都不滿足這個條件。
（解答：邱鴻廣審核：田軍龍）
解：（1）規則：
的對應算符為：
此算符對應的平方為： （1）
經典量的算符為 （2）
因為所以規則不滿足提設這個條件。
（2）規則：
的對應算符為：
此算符對應的平方為： （3）
經典量的算符為： （4）
因為所以規則也不滿足提設這個條件。
#6.10 證明：, ,. （解答：項朋審核：陳玉輝）
證明：① 先計算
再計算，
∴ =0
② ∴③
∴ .
#6.11 用數學歸納法求和，（解答：項朋審核：陳玉輝）
解: ① 由6.28式可知
∴下面用數學歸納法證明上式成立:
當時，顯然成立
當時，由6.31式，上式成立
再由上式推出乙個將n改為n+1的同樣公式；
說明了原式對n+1也成立，於是證明了上式的普遍成立。
② 由6.29式可知
∴下面用數學歸納法證明上式成立:
當時，顯然成立
當時，由6.31式，上式成立
再由上式推出乙個將n改為n+1的同樣公式；
說明了原式對n+1也成立，於是證明了上式的普遍成立。
#6.12 證明：（1）
2） （樑端）
（1）證明： ==
=== 同理可證：
故： （2）證明：由上題可知：
將各個量化為三維形式：
所以： 則有：
將上式進行點乘，經過整理得：
故：此題得證
#6.13
練習7.1 推導以下列個關係式
解：用位置x構造乙個么正算符
與p的對易關係是：
即將此式作用到上，得
則p的乙個本徵向量被算符作用後，可得出另乙個本徵向量，其本徵值為
由於的么正性，也是歸一的。我們稱為作用於動量本徵向量的上公升算符；有上式的左矢形式
可知，算符是左矢的上公升算符。
將作用於，由於可得，
可見算符是右矢的下降算符，而算符是左矢的下降算符。
#7.2 若取中的ξ為複數，能否得出x的本徵值為複數的結論？
（韓麗芳候書進審）
解：若ξ為複數，令ξ=a+b則由得
因為ξ為複數，不再是么正算符，現將歸一化得其歸一化向量為，其本徵值為x+ξ
同理即此時本徵值為x+a
結論矛盾，所以ξ不能是複數，即x的本徵值不可以是複數
7.3 證明：式成立。
（做題人：楊濤審題人：吳漢成）
證明：令表示算符x的本徵值為零的本徵向量，表示算符p的本徵值為零的本徵向量。
證畢7.4證明以下兩個左矢關係成立：（做題人：楊濤審題人：吳漢成）
證明：在式中右乘
則在式中右乘
則證畢在右乘則在右乘證畢練習7.5 試討論動量表象的函式形式。（吳漢成完成， 董延旭核對）
解：討論關係式：，從矩陣形式出發則有：
1） 而本徵值向量組是完全的，即：，並代入（1）式得：
又 ，並代入上式得2）
並對該式進行分部積分：
上式可寫成如下形式：
，其中算符，此關係式便是動量表象的函式形式。
練習7.6 證明描寫同一狀態的位置表象波函式與動量表象波函式之間滿足傅利葉變換：
（吳漢成完成， 董延旭核對）
（1） 證明：已知，顯然得：
又有，，並代入上式得：
右邊=1）
又本徵值向量組的完全性，即：
並代入（1）式得右邊
顯然證得：
（1） 證明：已知，則有：
顯然得：右邊=
又有，並代入上式得：
2）又本徵值向量組的完全性，即：
，並代入(2)式得：
顯然證得：
7.7 在三維的位置表象或動量表象中，重新證明、和各式，即
， （王俊美）
證明在三維的位置表象中：
利用證明以下各式得:
7.8同上題，重新證明（6.28）和（ 6.30）二式，（做題人：陳捷獅，審查人：劉強）
證明：（1）由於
由此猜想
用數學歸納法：當n=0,1,2,時已知上式成立。假設n=n時上式成立，則在n=n+1時有
則當原式成立，則當n=n+1時原式也成立。所以成立
（2）由於
由此猜想
用數學歸納法：當n=0,1,2,時已知上式成立。假設n=n時上式成立，則在n=n+1時有
則當原式成立，則當n=n+1時原式也成立。所以成立
7.9證明：（做題人：陳捷獅，審查人：劉強）
證明：在三維的位置表象中，定義任意乙個態函式
（1）由於
則有：（2）由於
其中：帶入上式有：
所以：練習 7.10 在x表象的函式形式中，態函式與有下列關係：
另有一算符，具有離散的本徵值，本徵函式為，即，試用函式形式語言，直接給出上式的k表象矩陣形式。
（解題人：胡項英校對人：寧紅新）
解：k表象的本徵函式構成k表象的一組基矢，任意狀態可按照這組基矢展開，如：
所以其中
練習7.11 （做題人：韓麗芳）
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