，可見與都有關係（二元函式），故設，得
， 於是，經過變形、換元、消元，函式有了（自變數也有了）：
．這時，定義域應該從自變數（即條件1）出發去尋找，其實質是找（二元函式）的值域．由「兩數和、兩數積」的結構想到基本不等式，由
，定義域也有了．
設，則． 解題的思路已經打通（如何表達？需定方法、找起點、分層次、選定理、用文字．可分四步書寫：求定義域、求函式表示式、放大為常數，驗證常數可以取到）．
解設，當時．
又由，有
，（）因（）是乙個減函式（糖水加糖變甜了），當時達到最大值，故有，得
所以，當時取最大值
這是一道普通的數學問題，但是同樣要經歷數學解題的四個過程
一、審題
所謂審題。一般說就是了解題意,搞清問題中所給予的條件和要達到的目的。從心理學的觀點來看,即分析問題的基本結構,在頭腦中建立起該問題的最初表徵。
審題時解決問題的首要環節。只有明確了問題的條件和要求,在頭腦中建立起該問題的映像後,才能通過聯想,回憶起解決當前問題所需的知識,才能使我們學過的定理,定義具體化,使我們學過的解題方法得到實際的應用。找到解決問題的最好方法。
我們在解數學題的時候,首先是理解題意,即對整個問題進行分析,區分已知條件和要求的目標,有時還要將目標劃分為最基本的不能再分的部分。需要將已知條件和目標進行對照綜合,這樣才能弄清由已知條件出發能否最終達到終點。在實際的教學中,不僅要使學生重視審題。
同時要使學生善於審題,養成良好的審題習慣,掌握審題的技能。善於審題必須先善於讀題,其次要有合理的程式,此外還要學生善於改造問題,如把抽象的複雜關係形象化;或者省掉無關的情結,把問題簡約化;或把簡縮語言加以擴充套件,確切把握題意。
二、聯想
聯想即有一種心理過程而引起另一種與之相連的心理過程的現象。知識的掌握過程中的聯想即以所形成的問題的表徵為提取線索,去啟用腦中有關的知識結構。聯想是使抽象化或概括化的知識得以具體化的必要環節。
解決問題總是依賴過去的知識經驗。比如在解決數學問題時,根據所形成的問題表徵,去啟用回憶與該問題有關的知識方法,公式,定理,定義,學過的例題,解過的題目等,並考慮能否利用它們的結果或者方法。克服在引進適當的輔助元素後加以利用,能否找出與該問題有關的乙個特殊的問題或一格一般的問題或
乙個類似的問題。如果能夠從所給問題中辨認出符合問題目標的某個熟悉的模式,那麼就能提出相應的解題設想,進而解決問題。在解題過程中,聯想活動的進行將因問題的複雜程度和學生對所學知識的掌握
程度的不同,而有擴充套件與壓縮,直接與間接,意識到知識的重現與意識到知識的重現的分別。在解決比較簡單的問題或者對某種原理概念能熟練應用的情況下,應用過程中的聯想是高度壓縮的,多數是通過
一種直接的概括聯想,一般都意識不到有關知識的重現。有些情況下,學生不能聯想,難以啟用原來的知識結構,或者即使聯想,但聯想的內容錯誤。常受到與其相近的比較鞏固的舊的知識的干擾。
其主要原因是領會水平較低或者領會錯誤,或原有的知識不鞏固,或缺乏聯想的技能。為才產生準確而靈活的聯想,除了要保證知識的領會和鞏固外,還要有目的的進行聯想技能的訓練。
三、解析
解析即分析事物的矛盾,分析已知和未知雙方的內部聯絡,尋找解決矛盾的條件和方法,數學解題中的解析即統一的分析問題中各部分的內在聯絡,分析問題的結構。將問題結構的各部分與原有知識結構的有關部分進行匹配。解析的結果往往表現為提出解決當前問題的各種設想,制定具體的計畫與步驟,探索解決問題的方法有多種多樣,比如在解決數學問題時,可以通過分析。
綜合等基本的思維活動。並依據已有的知識。將問題的條件或結論作適當的變更和轉換。
使之更易於利用某種原理或者概念來解決問
題;也可以通過變換。使眼前的問題特殊化或者一般化;還可以利用適當的輔助問題,在探索解題方法的過程中,有時需要不斷的多次變更問題,綜合應用各種方法。解析是具體化過程的核心環節。
決定著就具體化的水平。為此,在教學中應對解析技能的培養給予高度的重視。教師可以遵循心智技能形成和培訓的規律,來傳授和提高學生的解析能力。
四、類化
類化也較歸類。即概括出眼前問題與原有知識的共同的本質特徵,並將這一具體的問題歸入原有的同類知識體系中去,以便理解當前的問題的性質。類化是抽象的知識具體化的最終環節,是審題,聯想與解析的基礎上,揭示出當前問題與過去的知識經驗所具有的共同本質特徵的過程。
類化與抽象知識的具體化是從不同方面來說的,就基本的過程而言,都是在抽象知識的指引下,通過一系列的分析,使已習得的抽象知識同當前的問題發生聯絡或溝通,若從當前的課題方面來說,由於該具體的課題納入了相應的同一知識系統中,可
以說是類化;若從已習得的抽象的知識方面來說,由於它與新的同類事物間建立了聯絡,因此,又可以說是具體化。類化的程序將因題目的難易。同例題的差別程度以及已有抽象知識的領會水平等的不同而有差異。
在熟練的應用所學的知識去解決那些難度較低,同例題差別較小的問題時,類化過程幾乎是同審題聯想與解析過程一起實現的,這時類化的程序是高度縮減的,直接的。如果是初次應用剛剛學會定理概念,或者眼前的問題同例題的差別大,一時是難以辨認其本質特徵時,類化通常是展開的,間接的。有時,學生雖然通過審題,聯想與解析活動能將問題與原有知識進行一一對應,但他們仍然將這個題目視作乙個特殊的例子不能納入乙個概括的類別。
因此,當他們再遇到同類題目的時候,仍將它們視作不熟悉的新課題,反覆進行審題,聯想,解析,直到最後的類化。
審題,聯想,解析,類化是數學解題過程中不可缺少的四個環節,且彼此之間相互聯絡。首先,這四個成分的執行有一定的順序,且每個成分是下乙個成分的前提。也就是說,聯想是在審題的基礎上進行的,學生必須根據所形成問題的最初映像,有選擇的啟用已有的知識;解析又是以審題和聯想的結果作為物件的,其方向也是有審
題和聯想決定的,在此基礎上才能找到問題與所學知識的共同點,加以類化。審題聯想越準確,越有助於深刻的解析和廣泛的類化,對知識的掌握程度也就相應的提高,數學解題能力也就越強。
小學數學「問題解決」教學法初探
作者 馬科敏 學週刊 中旬刊 2015年第02期 摘要 小學數學是一門比較枯燥的學科，加之教師的教學方法不當，導致學生對數學學科產生了一種莫名的恐懼，久而久之就會在內心深處形成一種 談數色變 的心理，不利於教學的順利開展。為此，筆者結合小學數學的學科特點，將一種新的教學方法 問題解決 教學方法融入了...
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小學數學問題解決策略課題研究報告
1 聯絡生活，感悟策略。在實際的教學過程中，教師能夠緊密聯絡生活實際，創設出一些能夠激發學生學習興趣和問題意識的問題情境，在這一過程中，學生有足夠的時間初步感受 交流策略，豐富自己已經掌握的 策略來解決生活中的實際問題。如黃祝平老師在執教 合理安排時間 徐成華老師在執教 乘法的估算 先展示生活情境，...