量子力學期末複習完美總結
一、 填空題
1．玻爾-索末菲的量子化條件為：，
2．德布羅意關係為：。
3．用來解釋光電效應的愛因斯坦公式為：，
4．波函式的統計解釋：代表t時刻，粒子在空間處單位體積**現的概率，又稱為概率密度。這是量子力學的基本原理之一。
波函式在某一時刻在空間的強度，即其振幅絕對值的平方與在這一點找到粒子的機率成正比，和粒子聯絡的波是概率波。
5．波函式的標準條件為：連續性，有限性，單值性。
6． ， 為單位矩陣，則算符的本徵值為： 。
7．力學量算符應滿足的兩個性質是實數性和正交完備性。
8．厄密算符的本徵函式具有：正交性，它們可以組成正交歸一性。即。
9．設為歸一化的動量表象下的波函式，則的物理意義為：表示在所描寫的態中測量粒子動量所得結果在範圍內的機率。
10. ； ； 0。
11．如兩力學量算符有共同本徵函式完全系，則 _0__。
12．座標和動量的測不准關係是：。自由粒子體系，_動量_守恆；中心力場中運動的粒子__角動量__守恆
13．量子力學中的守恆量a是指:不顯含時間而且與對易，守恆量在一切狀態中的平均值和概率分布都不隨時間改變。
14．隧道效應是指：量子力學中粒子在能量e小於勢壘高度時仍能貫穿勢壘的現象稱為隧道效應。
15． 為氫原子的波函式， 的取值範圍分別為：n=1,2,3,…；l=0,1,…,n-1；m=-l,-l+1,…,0,1,…l。
16．對氫原子，不考慮電子的自旋，能級的簡併為: ，考慮自旋但不考慮自旋與軌道角動量的耦合時，能級的簡併度為 ，如再考慮自旋與軌道角動量的耦合，能級的簡併度為 。
17．設體系的狀態波函式為 ，如在該狀態下測量力學量有確定的值 ，則力學量算符與態向量的關係為：。
18．力學量算符在態下的平均值可寫為的條件為：力學量算符的本徵值組成分立譜，並且是歸一化波函式。
19．希爾伯特空間：量子力學中q的本質函式有無限多個，所以態向量所在的空間是無限維的函式空間。
20．設粒子處於態 ， 為歸一化波函式， 為球諧函式，則係數c的取值為：， 的可能值為：， 本徵值為出現的機率為：。
21．原子躍遷的選擇定則為：。
22．自旋角動量與自旋磁矩的關係為：；式中是自旋磁矩，是自旋角動量，是電子的電荷，是電子的質量。
23． 為泡利算符，則3 0，。
24． 為自旋算符，則 ， 0 ，。
25．烏倫貝克和哥德斯密脫關於自旋的兩個基本假設是:（1）每個電子具有自旋角動量，它在空間任何方向上的投影只能是兩個數值：；（2）每個電子具有自旋磁矩，它和它的自旋角動量的關係式是：
，式中是電子的電荷，是電子的質量。在空間任意方向上的投影只能取兩個數值：。
26．軌道磁矩與軌道角動量的關係是：。
27．證明電子具有自旋的實驗有：斯特恩-革拉赫實驗。
28．費公尺子所組成的全同粒子體系的波函式具有_反對稱性__，玻色子所組成的全同粒子體系的波函式具有____對稱性_____。
29． 考慮自旋後，波函式在自旋空間表示為 （已歸一化），則在態下，自旋算符對自旋的平均可表示為：；對座標和自旋同時求平均的結果可表示為:。
30． 考慮自旋後，波函式在自旋空間表示為 （已歸一化），則的意義為:表示在t時刻，在（x,y,z）點周圍單位體積內找到自旋的電子的機率。
_1__。
31.量子力學中的態是希爾伯特空間的__向量__；算符是希爾伯特空間的__算符__。
力學量算符在自身表象中的矩陣是對角的
32、的物理意義： 發現粒子的機率密度與之成正比 。
33、表示在r—r+dr單位立體角的球殼內發現粒子的機率 。
34、在量子力學中，微觀體系的狀態被乙個波函式完全描述；力學量用厄密算符表示。
二、 問答題
1. 你認為bohr的量子理論有哪些成功之處？有哪些不成功的地方？試舉一例說明。
(簡述波爾的原子理論，為什麼說玻爾的原子理論是半經典半量子的？)
答：bohr理論中核心的思想有兩條：一是原子具有能量不連續的定態的概念；二是兩個定態之間的量子躍遷的概念及頻率條件。
首先，bohr的量子理論雖然能成功的說明氫原子光譜的規律性，但對於複雜原子光譜，甚至對於氦原子光譜，bohr理論就遇到了極大的困難（這裡有些困難是人們尚未認識到電子的自旋問題），對於光譜學中的譜線的相對強度這個問題，在bohr理論中雖然借助於對應原理得到了一些有價值的結果，但不能提供系統解決它的辦法；其次，bohr理論只能處理簡單的週期運動，而不能處理非束縛態問題，例如：散射；再其次，從理論體系上來看，bohr理論提出的原子能量不連續概念和角動量量子化條件等，與經典力學不相容的，多少帶有人為的性質，並未從根本上解決不連續性的本質。
2. 什麼是光電效應？光電效應有什麼規律？愛因斯坦是如何解釋光電效應的？
答：當一定頻率的光照射到金屬上時，有大量電子從金屬表面逸出的現象稱為光電效應；光電效應的規律：a.
對於一定的金屬材料做成的電極，有乙個確定的臨界頻率，當照射光頻率時，無論光的強度有多大，不會觀測到光電子從電極上逸出；b.每個光電子的能量只與照射光的頻率有關，而與光強無關；c.當入射光頻率時，不管光多微弱，只要光一照，幾乎立刻觀測到光電子。
愛因斯坦認為：(1)電磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那樣散布在空間中，所以電子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以對應弛豫時間應很短，是瞬間完
成的。(2)所有同頻率光子具有相同能量，光強則對應於光子的數目，光強越大，光子數目越多，所以遏止電壓與光強無關，飽和電流與光強成正比。(3)光子能量與其頻率成正比，頻率越高，對應光子能量越大，所以光電效應也容易發生，光子能量小於逸出功時，則無法激發光電子。
3．簡述量子力學中的態疊加原理，它反映了什麼？
答：對於一般情況，如果和是體系的可能狀態，那麼它們的線性疊加：（是複數）也是這個體系的乙個可能狀態。
這就是量子力學中的態疊加原理。態疊加原理的含義表示當粒子處於態和的線性疊加態時，粒子是既處於態，又處於態。它反映了微觀粒子的波粒二象性矛盾的統一。
量子力學中這種態的疊加導致在疊加態下觀測結果的不確定性。
4. 什麼是定態？定態有什麼性質？
答：體系處於某個波函式所描寫的狀態時，能量具有確定值。這種狀態稱為定態。
定態的性質：（1）粒子在空間中的概率密度及概率流密度不隨時間變化；（2）任何力學量（不顯含時間）的平均值不隨時間變化；（3）任何力學量（不顯含時間）取各種可能測量值的概率分布也不隨時間變化。
6.經典波和量子力學中的機率波有什麼本質區別？
答：1）經典波描述某物理量在空間分布的週期性變化，而機率波描述微觀粒子某力學量的機率分布；（2）經典波的波幅增大一倍，相應波動能量為原來的四倍，變成另一狀態，而微觀粒子在空間出現的機率只決定於波函式在空間各點的相對強度，機率波的波幅增大一倍不影響粒子在空間出現的機率，即將波函式乘上乙個常數，所描述的粒子狀態並不改變；
7. 能量的本徵態的疊加一定還是能量本徵態。
答：不一定，如果，對應的能量本徵值相等，則還是能量的本徵態，否則，如果，對應的能量本徵值不相等，則不是能量的本徵態
8.什麼是表象？不同表象之間的變換是一種什麼變換？在不同表象中不變的量有哪些？
答：量子力學中態和力學量的具體表示方式稱為表象。不同表象之間的變換是一種么正變換。在不同表象中不變的量有：算符的本徵值，矩陣的跡即矩陣對角元素的和。
9. 簡述量子力學的五個基本假設。
答：（1）微觀體系的狀態被乙個波函式完全描述，從這個波函式可以得出體系的所有性質。波函式一般應滿足連續性、有限性和單值性三個條件；（2）力學量用厄密算符表示。
如果在經典力學中有相應的力學量，則在量子力學中表示這個力學量的算符，由經典表示中的將動量換為算符得出。表示力學量的算符具有組成完全系的本徵函式。（3）將體系的狀態波函式用算符的本徵函式展開：
，則在態中測量力學量f得到結果為的機率為，得到結果在範圍內的機率是；（4）體系的狀態波函式滿足薛丁格方程：，是體系的哈密頓算符。（5）在全同粒子組成的體系中，兩全同粒子相互調換不改變體系的狀態（全同性原理）。
10.波函式歸一化的含義是什麼？歸一化隨時間變化嗎？
答：粒子既不產生也不湮滅。根據波函式的統計解釋，在任何時刻，粒子一定在空間出現，所以在整個空間中發現粒子是必然事件，概率論中認為必然事件的概率等於1。
因而粒子在整個空間**現的概率即對整個空間的積分應該等於1.即式中積分表示對整個空間積分。這個條件我們稱為歸一化條件。
滿足歸一化條件的波函式稱為歸一化波函式。波函式一旦歸一化，歸一化常數將不隨時間變化。
11.量子化是不是量子力學特有的效應？經典物理中是否有量子化現象？
答： 所謂量子化，就是指某個力學量可取數值具有離散譜。一般來說，這不是量子力學的特有效應。
經典物理中，例如聲音中的泛音，無線電中的諧波都是頻率具有離散譜。經典波在束縛態形成駐波時，頻率也是量子化的，但經典波的頻率量子化並不對應能量量子化。有時量子化用了專指能量量子化，在這種意義上它就是量子力學特有的效應。
12.什麼是算符的本徵值和本徵函式？它們有什麼物理意義？
答：含有算符的方程稱為的本質方程，為的乙個本質值。而則為的屬於本徵值的本徵函式。
如果算符多代表乙個力學量，上述概念的物理意義如下：當體系處於的本徵態時，測量f的數值時確定的，恆等於。當體系處於任意態時，單次測量f的值必等於它的本徵值之一。
13.算符運算與一般代數運算有什麼異同之處？
答：（1）相同點:都滿足加法運算中的加法交換律和加法結合律。
（2）不同點：a.算符乘積一般不滿足代數乘法運算的交換律，即；b.
算符乘積定義，運算次序由後至前，不能隨意變換。
14.什麼是束縛態和定態？束縛態是否必為定態？定態是否必為束縛態？
答：定態是概率密度和概率流密度不隨時間變化的狀態。若勢場恆定，則體系可以處於定態。
當粒子被外力（勢場）束縛於特定的空間區域內，及在無窮處波函式等於零的態叫做束縛態。束縛態是離散的。例如一維諧振子就屬於束縛定態，具有量子化能級。
但束縛態不一定是定態。例如限制在一維箱子中的粒子，最一般的可能態是以一系列分立的定態疊加而成的波包。這種疊加是沒有確定值的非定態。
雖然一般情況下定態多屬束縛態，當定態也可能有非束縛態。
量子力學總結
量子力學的基本假設，可以概括如下 1 波函式物理系統的狀態用波函式描述。2 算符描寫系統的每乙個力學量，都對應於乙個線性厄公尺算符 3 本徵態本徵值薛丁格方程態函式隨時間的演化遵從薛丁格方程 4 態疊加原理 5 系統內任意兩個全同粒子互換，都不會改變系統的狀態。熱輻射現象 任何溫度下，巨集觀物體都要...
量子力學總結習題考卷及答案
玻爾的量子化條件，索末菲的量子化條件。黑體 能吸收射到其上的全部輻射的物體，這種物體就稱為絕對黑體，簡稱黑體。蒲朗克量子假說 表述1 對於一定頻率 的輻射，物體只能以h 為能量單位吸收或發射電磁輻射。表述2 物體吸收或發射電磁輻射時，只能以量子的方式進行，每個量子的能量為 h 表述3 物體吸收或發射...
量子力學第一章總結
第一章1.量子力學 量子力學是反映微觀粒子 分子 原子 原子核 基本粒子等 運動規律的理論 2.黑體輻射 如果乙個物體能夠吸收投射在它上面的全部輻射而無反射，這種物體就成為絕對黑體，簡稱黑體。乙個空腔可以看做是黑體。由這樣的空腔小孔發出的輻射就是黑體輻射 3.光電效應 光電子 臨界頻率 1 光電效應...