一、 從概念發展的過程**數學的本質
對數學概念發展過程的準確理解是教學有效設計的前提【1】。
「任意角的三角函式」是「銳角三角函式」概念的延伸和擴張，角由「銳角」推廣到「任意角」之後，將「銳角三角函式」概念通過模擬推廣到「任意角的三角函式」是自然合理的需求。
在角由「銳角」到「任意角」的推廣過程中，研究的視角由「靜態」到「動態」，同時研究的平台也由「平面圖形」過渡到「平面直角座標系」。通過直角座標系研究角，一方面引入象限角，使角的研究轉化為「轉動的邊」的研究；另一方面也提供了用代數方法研究幾何的思路。
教材中對任意角的三角函式的定義有兩種——尤拉的傳統定義和單位元的定義。從任意角的三角函式的使命看，單位圓的定義顯得形式簡單，便於研究性質，同時借助圓周運動可以更直觀地體現函式的週期性。某種意義上說，任意角的三角函式就是圓的幾何表示。
但兩個定義本質相同，相互之間一點就通。
二、從學生認知規律的角度看概念同化或形成的教學
對概念的形成教學，必須強調按學生的認知規律辦事【2】
設計時做好充分的預設，課堂中順應學生思維，注重生成的資源。惟其如此，才使得教學顯得自然而有效。
1.把握學生現有的認知結構及其缺陷
「任意角的三角函式」是「銳角的三角函式」的自然延伸，但學生現有的認知結構並不完整，一是初中所學的銳角的三角函式定義有些淡忘模糊；二是雖然認識到銳角的三角函式是角與比值之間的對應，但沒有提公升到數集到數集對應的函式高度；三是學生過去的站在直角三角形中研究銳角的三角函式，這對研究任意角的三角函式的認識上會有一定的負遷移；四是雖然有過用平面直角座標系研究角的經驗，但對座標系的解析作用的認識和理解並不到位。不過這一經驗對任意角的三角函式的概念的建立是乙個基點。
2.讓學生經歷概念生成的過程
所謂知識，是過程，不是結果。概念理解的結果是思維過程的產物。數學教學的最重要任務是培養和發展學生的數學思維能力為重點。
問題是思維的起點，恰時恰點的問題鏈可以不斷激發學生深入思考的慾望，並通過自助和互助獲得新概念。
2.1提出問題，先行組織，明確思維的聚焦
通過前面的學習，我們已經將銳角推廣到了任意角；初中時候我們學習了銳角的三角函式，由此自然地產生乙個新的問題——如何定義任意角的三角函式？
2．2回顧銳角的三角函式的定義，並從函式的角度重新認識，以此作為思維的基點
源問題：任意畫乙個銳角a,能否根據銳角的三角函式的定義，借助三角板求出sina的近似值？
追問1：有更好的方法能使計算更加簡便？
追問2：sina是直角三角形中a的對邊比斜邊。那麼這個比值與所畫點的位置有關？（根據相似三角形性質理解比值與「點的位置無關」）
你認為，哪條邊畫成單位長方便計算？
追問3：還有其他三角函式？有幾個？
追問4：sina是a的正弦函式，「函式」自然有定義域和值
正弦函式的定義域是？值域是什麼？
分析：在老師的不斷追問下，學生從求簡便的方向出發，自主地創造方法（把斜邊畫成單位長），使新定義中單位圓的引進水到渠成；從函式的角度審視正弦函式，提高了對銳角函式的認識，分散了教學的難點。同時，問題的指向性和開放性，使學生思維品質得到了很好的鍛鍊。
問題的引導起到了「隨風潛入夜」「潤物細無聲」的效果。
2.3從銳角到任意角的推廣（滲透直角座標繫在研究任意角的作用），引出由銳角三角函式到任意角的三角函式的推廣問題，是思維的自然流淌！
源問題：現在角的範圍擴大了，由銳角擴大到了0。~360。
的角，又擴充套件到了任意角，並且在直角座標系中，使角的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，在這樣的環境，你認為，對於任意角a，sina怎樣定義好？（在幾何畫板上，教師在直角座標系下轉動角的終邊）
追問1：你認為引進直角座標系，有什麼特別的好處？
（第一，在座標系下，角確定，其終邊也唯一確定。因此研究角，就可以轉化為研究角的終邊位置；第二，座標系下，點可以用座標表示，可以通過座標實現用代數的方法研究幾何問題）
追問2：在直角座標系，銳角a的終邊在第一象限，你能借助點的座標重新定義sina嗎？
追問3：通過模擬，你能否借助座標來定義任意角a的正弦值sina呢？
追問4：上述定義的正弦函式符合函式的定義？
分析：對於定義的生成中，最最關鍵的一環是學生能否擺脫銳角三角函式用直角三角形邊長比值表示的侷限性，轉為用
任意角終邊上的座標的比值來表示。
追問4從函式的角度審視所得的定義，讓學生體會到定義的合理性，同時通過幾何畫板演示角的終邊運動，引起角和終邊上點的座標的變化，體會到運動變化和數形結合的思想，促進學生對定義的進一步認識。
2.4對概念獲得的「精緻」過程，也是思維深刻性和批判性的發展要求
所以，教學的後繼階段有必要通過一定量較典型的問題從不同的角度進一步理解定義
1.進一步明確概念的內涵和外延。
問題1：根據任意角的三角函式的定義，要求角a的三個三角函式其實就是求什麼？
2充分的典例。
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