專題 5 三角函式
【2012高考真題精選】
1．（2012·湖北卷）函式f(x)＝x cos2x在區間[0,2π]上的零點的個數為( )
a．2 b．3 c．4 d．5
2．（2012·福建卷）某同學在一次研究性學習中發現，以下五個式子的值都等於同乙個常數：
(1)sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；
(2)sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；
(3)sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；
(4)sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；
(5)sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.
(1)試從上述五個式子中選擇乙個，求出這個常數；
(2)根據(1)的計算結果，將該同學的發現推廣為三角恒等式，並證明你的結論．
(2)三角恒等式為sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝.
證明如下：
sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)
＝＋－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)
＝－cos2α＋＋(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－sinαcosα－sin2α
＝－cos2α＋＋cos2α＋sin2α－sin2α－(1－cos2α)
＝1－cos2α－＋cos2α＝.
3．（2012·全國卷）已知α為第二象限角，sinα＝，則sin2α＝( )
a．－ b．－ c. d.
4．（2012·遼寧卷）已知sinα－cosα＝，α∈(0，π)，則sin2α＝( )
a．－1 b．－
c. d．1
5．（2012·重慶卷）設函式f(x)＝asin(ωx＋φ)(其中a>0，ω>0，－π<φ≤π)在x＝處取得最大值2，其圖象與x軸的相鄰兩個交點的距離為.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求函式g(x)＝的值域．
【答案】解：(1)由題設條件知f(x)的週期t＝π，即＝π，解得ω＝2.
6．（2012·福建卷）函式f(x)＝sin的圖象的一條對稱軸是( )
a．x＝ b．x＝
c．x＝－ d．x＝－
【答案】c 【解析】 解題關鍵是明確三角函式圖象的對稱軸經過最高點或最低點，可以把四個選項代入驗證，只有當x＝－時，函式f＝sin＝－1取得最值，所以選擇c.
7．（2012·陝西卷）函式f(x)＝asin＋1(a>0，ω>0)的最大值為3，其影象相鄰兩條對稱軸之間的距離為.
(1)求函式f(x)的解析式；
(2)設α∈，f＝2，求α的值．
∵0<α<，∴－ <α－<，
∴α－＝，故α＝.
8．（2012·湖南卷）已知函式f(x)＝asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖1－6所示．
(1)求函式f(x)的解析式；
(2)求函式g(x)＝f－f的單調遞增區間．
9．（2012·湖南卷）設定義在r上的函式f(x)是最小正週期為2π的偶函式，f′(x)是f(x)的導函式．當x∈[0，π]時，0＜f(x)＜1；當x∈(0，π)且x≠時，x－f′(x)＞0.則函式y＝f(x)－sinx在[－2π，2π]上的零點個數為( )
a．2 b．4 c．5 d．8
10．（2012·重慶卷）設函式f(x)＝asin(ωx＋φ)(其中a>0，ω>0，－π<φ≤π)在x＝處取得最大值2，其圖象與x軸的相鄰兩個交點的距離為.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求函式g(x)＝的值域．
11．（2012·上海卷）函式f(x)＝的最小正週期是________．
【答案】π 【解析】 考查二階矩陣和三角函式的值域，以矩陣為載體，實為考查三角函式的性質，易錯點是三角函式的化簡．
f(x)＝sinxcosx＋2＝sin2x＋2，由三角函式週期公式得，t＝＝π.
c4 函式的圖象與性質
12．（2012·浙江卷）把函式y＝cos2x＋1的圖象上所有點的橫座標伸長到原來的2倍(縱座標不變)，然後向左平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度，得到的圖象是( )
13．（2012·天津卷）將函式f(x)＝sinωx(其中ω＞0)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象經過點，則ω的最小值是( )
a. b．1
c. d．2
14．（2012·山東卷）函式y＝2sin (0≤x≤9)的最大值與最小值之和為( )
a．2－ b．0
c．－1 d．－1－
15．（2012·課標全國卷）已知ω>0,0<φ<π，直線x＝和x＝是函式f(x)＝sin(ωx＋φ)影象的兩條相鄰的對稱軸，則φ＝( )
a. b.
c. d.
16．（2012·全國卷）當函式y＝sinx－cosx(0≤x<2π)取得最大值時，x
17．（2012·重慶卷）設函式f(x)＝asin(ωx＋φ)(其中a>0，ω>0，－π<φ≤π)在x＝處取得最大值2，其圖象與x軸的相鄰兩個交點的距離為.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求函式g(x)＝的值域．
18．（2012·陝西卷）函式f(x)＝asin＋1(a>0，ω>0)的最大值為3，其影象相鄰兩條對稱軸之間的距離為.
(1)求函式f(x)的解析式；
(2)設α∈，f＝2，求α的值．
∴α－＝，故α＝.
19．（2012·安徽卷）要得到函式y＝cos(2x＋1)的圖象，只要將函式y＝cos2x的圖象( )
a．向左平移1個單位
b．向右平移1個單位
c．向左平移個單位
d．向右平移個單位
【答案】c 【解析】 因為y＝cos＝cos2，所以只需要將函式y＝cos2x的影象向左移動個單位即可得到函式y＝cos的影象．
20．（2012·山東卷）設命題p：函式y＝sin2x的最小正週期為；命題q：函式y＝cosx的圖象關於直線x＝對稱．則下列判斷正確的是( )
a．p為真 b．綈q為假
c．p∧q為假 d．p∨q為真
21．（2012·湖南卷）已知函式f(x)＝asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖1－6所示．
(1)求函式f(x)的解析式；
(2)求函式g(x)＝f－f的單調遞增區間．
22．（2012·北京卷）已知函式f(x)＝.
(1)求f(x)的定義域及最小正週期；
(2)求f(x)的單調遞減區間．
【答案】解：(1)由sinx≠0得x≠kπ(k∈z)，
故f(x)的定義域為．
因為f(x)＝
＝2cosx(sinx－cosx)
＝sin2x－cos2x－1
＝sin－1，
23．（2012·全國卷）若函式f(x)＝sin (φ∈[0,2π])是偶函式，則φ＝( )
a. b.
c. d.
【答案】c 【解析】 本小題主要考查三角函式的性質．解題的突破口為正、余弦函式的振幅式在對稱軸處取得最值．
∵f(x)＝sin為偶函式，有x＝0時f(x)取得最值，即＝kπ＋，即φ＝3kπ＋(k∈z)，由於φ∈[0,2π]，所以k＝0時，φ＝符合，故選c.
24．（2012·湖北卷）設函式f(x)＝sin2ωx＋2sinωx·cosωx－cos2ωx＋λ(x∈r)的圖象關於直線x＝π對稱，其中ω，λ為常數，且ω∈.
(1)求函式f(x)的最小正週期；
(2)若y＝f(x)的圖象經過點，求函式f(x)的值域．
【答案】解：(1)因為f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sinωx·cosωx＋λ
＝－cos2ωx＋sin2ωx＋λ＝2sin＋λ.
由直線x＝π是y＝f(x)圖象的一條對稱軸，
可得sin＝±1，
所以2ωπ－＝kπ＋(k∈z)，即ω＝＋(k∈z)，
又ω∈，k∈z，所以k＝1，故ω＝，所以f(x)的最小正週期是.
(2)由y＝f(x)的圖象過點，得f＝0，
即λ＝－2sin＝－2sin＝－，即λ＝－.
故f(x)＝2sin－，函式f(x)的值域為[－2－，2－]．
c5 兩角和與差的正弦、余弦、正切
25．（2012·重慶卷）＝( )
a．－ b．－
c. d.
【答案】c 【解析】＝＝
＝sin30°＝，選c.
26．（2012·課標全國卷）已知a，b， c分別為△abc三個內角a，b，c的對邊，c＝asinc－ccosa.
(1)求a；
(2)若a＝2，△abc的面積為，求b，c.
27．（2012·安徽卷）設△abc的內角a，b，c所對邊的長分別為a，b，c，且有2sinbcosa＝sinacosc＋cosasinc.
(1)求角a的大小；
(2)若b＝2，c＝1，d為bc的中點，求ad的長．
【答案】解：(1)(方法一)由題設知，2sinbcosa＝sin(a＋c)＝sinb.
因為sinb≠0，所以cosa＝.
28．（2012·北京卷）已知函式f(x)＝.
(1)求f(x)的定義域及最小正週期；
(2)求f(x)的單調遞減區間．
【答案】解：(1)由sinx≠0得x≠kπ(k∈z)，
故f(x)的定義域為．
因為f(x)＝
＝2cosx(sinx－cosx)
＝sin2x－cos2x－1
＝sin－1，
所以f(x)的最小正週期t＝＝π.
(2)函式y＝sinx的單調遞減區間為(k∈z)．
由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ(k∈z)．
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈z)．
所以f(x)的單調遞減區間為(k∈z)．
29．（2012·廣東卷）已知函式f(x)＝acos，x∈r，且f＝.
(1)求a的值；
(2)設α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．
30．（2012·江蘇卷）設α為銳角，若cos＝，則sin的值為________．
【答案】 【解析】 本題考查三角函式求值問題．解題突破口為尋找已知角和所求角之間的整體關係．
由條件得sin＝，從而sin＝，cos＝2×－1＝，
從而sin＝sin＝×－×＝.
31．（2012·遼寧卷）已知sinα－cosα＝，α∈(0，π)，則sin2α＝( )
a．－1 b．－
c. d．1
【答案】a 【解析】 本小題主要考查同角基本關係與倍角公式的應用．解題的突破口為靈活應用同角基本關係和倍角公式．
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