楊玉春(銅仁市第二中學，貴州銅仁 554300)
向量具有一套完整的運算體系，可以把幾何圖形的性質轉化為向量運算，變抽象的邏輯推理為具體的向量運算，實現了「數」與「形」的結合。因此用量知識解決某些立體幾何問題，有時會顯得特別簡潔和具有規律性。但用向量無論是解決「成角」問題，還是「距離」問題，都離不開平面的法向量，可以說平面的法向量是用向量來解決立幾問題的瓶頸，平面法向量的正確求出是關鍵。
而用向量來求二面角的大小時，往往還需判斷法向量的方向，是指向二面角內還是指向二面角外。本文介紹空間平面法向量的求法與方向的判定。
一、平面法向量的求法
1、幾何法：如圖(1)，若⊥α，在上任取兩點a、b，則ab或ba即為平面α的乙個法向量。
2、待定係數法(兩種設法)：
（1）設n=(1,λ,μ)或n=(λ，1，μ)或n=(λ, μ，1)是平面α的乙個法向量。a，b是平面α內任一兩個不共線向量，由 n·a=0
n·b=0求出λ，μ即可。
（2）或設n=（x，y，z）是平面α的法向量，由 n·a=0
n·b=0
得出關於x、y、z的三元一次方程組的乙個解即為平面α的乙個法向量。
3、利用空間平面方程：ax+by+cz+d=0(其中：a、b、c不同時為零)，則n=（a，b，c）為平面的乙個法向量。
4利用向量的向量積：如圖(1)，設a=(),b=（）
則a×b
=()取n=(a×b)(λ∈r且λ≠0)是平面α的法向量。
二、空間平面法向量方向的判定
1、由幾何法求出的法向量，此時方向看圖即可。
2、由向量的向量積求出的法向量，用「右手定則」可確定a×b的方向，取n=λ(a×b),當＞0時，則n方向與向量a×b方向相同；當λ＜0時，n方向與向量a×b方向相反。
3、用待定係數法或空間平面方程求出的法向量可用如下方法判定：
二面角法量方向的判定應該選定乙個向量作為參照向量n。(這個參照向量不能和平面垂直或平行且指向二面角內部)。如圖(2)，設平面α的法向量分別為，在二面角α—λ—β內的乙個參照向量為,當＞0時，顯然與的夾角為銳角，我們稱法向量的方向指向二面角的內部；當＜0時，顯然與的夾角為鈍角，我們稱法向量的方向指向二面角外部。
再依據當二面角的兩個半平面的法向量同時指向二面內部或同時指向二面角外部時，二面角與其法向量所成角為互補關係；當法向量的方向乙個指向二面角內部乙個指向二面角的外部時，二面角與其法向量所成角為相等關係；概括為：「同內同外互補，一內一外相等」。
三、舉例示範空間平面法向量求法與方向的判定
例：如圖，abcd是直角梯形，∠abc=∠bad=90,sa⊥平面abcd，sa=ab=bc=1，ad=。
ⅰ：求sc與平面abcd所成的角。
ⅱ：求點a到平面scd的距離。
ⅲ：求平面sab與平面scd所成角的大小。
ⅳ：求二面角a—sc—d的大小。
解析：如圖，以a為原點，以向量ab、ad、as的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直角座標系。則a(0，0，0)，b(1，0，0)，c(1，1，0)，d（0，，0），s(0，0，1)
ⅰ：由題意:sa⊥平面abcd，∴平面abcd的乙個法向量為n=as=(0，0，1),又cs=(-1,-1,1)。
∴sc與平面abcd所成的角為：
ⅱ：(1)設平面scd的乙個法向量為n=(1,λ,μ)
即n=（1，-2，-1）
（2）或設平面scd的法向量為n=（x,y,z）
不妨令y=-2，則平面scd的乙個法向量為
=(1,-2,-1)
(3)或設平面scd的方程為ax+by+cz+d=0(其中a、b、c不同時為零)，則=(a、b、c)是平面scd的乙個法向量。
把s(0,0,1),c(1,1,0),d(0, ,0)分別代入平面方程，得
不妨令b=-2,則a=1，c=-1，從而=(1,-2,-1)為平面scd的乙個法向量。
(4)或由sc=（1，1，-1），sd=(0, ,-1)，則sc×sd=
∴平面scd的乙個法向量可取=-2（-,1,）=（1,-2,-1）
以上四種方法都可以輕鬆求出平面scd的乙個法向量=（1,-2,-1）
∴點a到平面scd的距離為
ⅲ:平面sab與平面scd所成的角就是法向量 ad =
（0，，0）與法向量n=（1,-2,-1）所成角或其補角。
∴平面sab與平面scd所成角為arccos或-arccos
ⅳ:由(ⅲ)知平面scd的乙個法向量為=(1,-2,-1)在二面角a-sc-d內選擇乙個參照向量=da=(0, ,0),由da·=-1＜0，∴n方向是指向二面角外部。
同進可求得平面sac的乙個法向量m=（1,-1,1），又ad=(0, ,0)，ad·m=＞0。
∴m的方向指向二面角內部，由「一內一外相等」知二面角a-sc-d的大小為＜n, m＞，又cos＜n, m＞=，∴二面角a-sc-d的大小為arccos。
值得一提的是當求兩平面所成角大小時，並不須要判斷法向量方向，因此當時二面角有兩個其大小互補；求二面角大小時，應判斷法向量方向，因為二面角的大小唯一的。
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