2023年11月28日
§3. 1《空間向量的標準正交分解與座標表示》——（教學設計）
一、教學目標
1、知識與技能：掌握空間向量的標準正交分解及其座標表示，理解空間向量的投影的定義，會求
空間向量的投影。
2、過程與方法：從向量的幾何表示到座標表示，體會向量的幾何和代數的雙重特點；通過向量的正交分解的相關運算提高學生的運算能力；通過例題與練習提高學生動手能力、分析問題解決問題的能力以及其知識遷移能力。
3、情感、態度與價值觀：經歷數學研究的過程，體驗探索的樂趣，增強學習數學的興趣。
二、教學重點和難點
重點：空間向量的正交分解與座標表示。
難點：1）空間向量的正交分解與座標表示；
2）空間向量的投影的定義及運算
三、教學方法：問題牽引、啟發引導、合作**
四、教學手段：多**輔助教學
五、教學過程
本節的教學過程由以下幾個環節構成：
六、教學設計
創設情境—感知概念
① 問題情境
我們學習過平面向量的標準正交分解和座標表示.在空間中，向量的座標又是怎樣定義的？向量的投影又是怎樣定義的？
② 課前練習
1. 在給定的空間直角座標系中，分別為x軸，y軸，z軸正方向上的
把叫作２．標準正交分解：若是標準正交基，對空間任意向量，存在三元有序實數（x，y，z），使叫作的
3.座標的意義
（1）座標的意義：向量的座標等於
（２）投影的定義：一般地，若為的單位向量，稱為向量在向量方向上的
一、空間向量標準正交分解的過程
在給定的空間直角座標系中，為x軸，y軸，z軸正方向上的單位向量，是空間中的任意向量
二、空間向量標準正交分解及座標的定義
在給定的空間直角座標系中，為x軸，y軸，z軸正方向上的單位向量，對於空間中的任意向量，存在唯一一組三元有序實數（x，y，z），使得
我們把叫作的標準正交分解，把叫作標準正交基
（x，y，z）叫作空間向量的座標.記作.叫作向量的座標表示.
在空間直角座標系中，點p的座標為（x，y，z），向量的座標也是（x，y，z）
注：當的起點在座標原點時，的終點的座標為（x，y，z）
思考**:
向量的起點不在座標原點時，向量的座標還是終點的座標嗎？如果不是，向量的座標又是怎樣的？
析：設，，o為座標原點，則，，所以
即向量的座標為
例題講解：
例1. 在空間直角座標系中有長方體
(1) 寫出的座標，給出關於的分解式
(2) 求的座標
解：(1)因為，所以
(2)因為點
所以練習1：
在空間直角座標系中有長方體
(1) 寫出的座標，給出關於的分解式
(2) 求的座標
析：(1)
2)三、空間向量的座標意義
設，那麼
由於，而，，同理
所以，同理
我們把分別稱為向量在x軸，y軸，z軸正方向上的投影。
向量的座標等它在座標軸正方向上的投影.
四、向量投影的定義
一般地，若為的單位向量，稱為向量在向量方向上的投影.
思考**：
向量在向量方向上的投影一定是正數嗎？
析：當夾角為銳角時，投影為正；當夾角為鈍角時，投影為負；當夾角為直角時，投影為0
故向量在向量方向上的投影可正可負可為0
例題講解
例2. 如圖，已知單位正方體，求
(1) 向量在上的投影
(2) 向量在上的投影
解：(1)向量在上的投影為：
(2)向量在上的投影為：
練習2：
如上圖，已知單位正方體，求
(3) 向量在上的投影；
(4) 向量在上的投影；
解：(1)向量在上的投影：
(2)向量在上的投影:
課時小結：
(1) 空間向量的座標表示
(2) 向量在向量方向上的投影
布置作業—自主**
一：p34面練習第1,2題
板書設計
教學反思
空間向量的標準正交分解與座標表示
在空間中不共面的三個向量 叫做這個空間的乙個特別的當向量 兩兩垂直並且為單位向量時，就是前面學習的練習 1 課本36頁練習 2 如圖在正方體中，是稜的中點，是對角線的中點，設，用 表示。3 在平行六面體中，是平行四邊形的對角線的交點，是稜的中點，如果，用 表示 乙個向量在另乙個向量上的投影 計算下面...
向量的正交分解與向量的直角座標運算
2.2.2向量的正交分解與向量的直角座標運算 no.16 教學內容 向量的正交分解與向量的直角座標運算 知識點 向量的正交分解向量的直角座標運算 課標要求 掌握向量的正交分解與向量的座標表示，會用座標表示向量的加 減 數乘運算。教學建議 注重學生對向量正交分解的教學 題型一 向量的座標表示 例1 在...
第三章3 1 4空間向量的正交分解及其座標表示課堂練習
1 在以下三個命題中，真命題的個數是 三個非零向量a,b,c不能構成空間的乙個基底，則a,b,c共面 若兩個非零向量a,b與任何乙個向量都不能構成空間的乙個基底，則a b共線 若a,b是兩個不共線的向量，而c a b r且 0 則構成空間的乙個基底 a 0b 1 c 2d 3 解析 正確 基底的向量...