第一講：如何做幾何證明題
【知識梳理】
1、幾何證明是平面幾何中的乙個重要問題，它對培養學生邏輯思維能力有著很大作用。幾何證明有兩種基本型別：一是平面圖形的數量關係；二是有關平面圖形的位置關係。
這兩類問題常常可以相互轉化，如證明平行關係可轉化為證明角等或角互補的問題。
2、掌握分析、證明幾何問題的常用方法：
（1）綜合法（由因導果），從已知條件出發，通過有關定義、定理、公理的應用，逐步向前推進，直到問題的解決；
（2）分析法（執果索因）從命題的結論考慮，推敲使其成立需要具備的條件，然後再把所需的條件看成要證的結論繼續推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事實為止；
（3）兩頭湊法：將分析與綜合法合併使用，比較起來，分析法利於思考，綜合法易於表達，因此，在實際思考問題時，可合併使用，靈活處理，以利於縮短題設與結論的距離，最後達到證明目的。
3、掌握構造基本圖形的方法：複雜的圖形都是由基本圖形組成的，因此要善於將複雜圖形分解成基本圖形。在更多時候需要構造基本圖形，在構造基本圖形時往往需要新增輔助線，以達到集中條件、轉化問題的目的。
【例題精講】
【專題一】證明線段相等或角相等
兩條線段或兩個角相等是平面幾何證明中最基本也是最重要的一種相等關係。很多其它問題最後都可化歸為此類問題來證。證明兩條線段或兩角相等最常用的方法是利用全等三角形的性質，其它如線段中垂線的性質、角平分線的性質、等腰三角形的判定與性質等也經常用到。
【例1】已知：如圖所示，中，。
求證：de＝df
【鞏固】如圖所示，已知為等邊三角形，延長bc到d，延長ba到e，並且使ae＝bd，鏈結ce、de。
求證：ec＝ed
【例2】已知：如圖所示，ab＝cd，ad＝bc，ae＝cf。
求證：∠e＝∠f
【專題二】證明直線平行或垂直
在兩條直線的位置關係中，平行與垂直是兩種特殊的位置。證兩直線平行，可用同位角、內錯角或同旁內角的關係來證，也可通過邊對應成比例、三角形中位線定理證明。證兩條直線垂直，可轉化為證乙個角等於90°，或利用兩個銳角互餘，或等腰三角形「三線合一」來證。
【例3】如圖所示，設bp、cq是的內角平分線，ah、ak分別為a到bp、cq的垂線。
求證：kh∥bc
【例4】已知：如圖所示，ab＝ac，。
求證：fd⊥ed
【專題三】證明線段和的問題
（一）在較長線段上擷取一線段等一較**段，證明其餘部分等於另一較**段。（截長法）
【例5】如圖，四邊形abcd中，ad∥bc，點e是ab上乙個動點，若∠b＝60°，ab＝bc，
且∠dec＝60°；
求證：bc＝ad＋ae
【鞏固】已知：如圖，在中，，∠bac、∠bca的角平分線ad、ce相交於o。
求證：ac＝ae＋cd
（二）延長一較**段，使延長部分等於另一較**段，則兩較**段成為一條線段，證明該線段等於較長線段。（補短法）
【例6】 已知：如圖7所示，正方形abcd中，f在dc上，e在bc上，。
求證：ef＝be＋df
【專題四】證明幾何不等式：
【例7】已知：如圖所示，在中，ad平分∠bac，。
求證：【拓展】中，於d，求證：
第二講：平行四邊形（一）
【知識梳理】
1、平行四邊形：
平行四邊形的定義決定了它有以下幾個基本性質：
（1）平行四邊形對角相等；
（2）平行四邊形對邊相等；
（3）平行四邊形對角線互相平分。
除了定義以外，平行四邊形還有以下幾種判定方法：
（1）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；
（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；
（3）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；
（4）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。
2、特殊平行四邊形：
一、矩形
（1）有一角是直角的平行四邊形是矩形
（2）矩形的四個角都是直角；
（3）矩形的對角線相等。
（4）矩形判定定理1：有三個角是直角的四邊形是矩形
（5）矩形判定定理2：對角線相等的平行四邊形是矩形
二、菱形
（1）把一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.
（2）定理1:菱形的四條邊都相等
（3）菱形的對角線互相垂直，並且每條對角線平分一組對角.
（4）菱形的面積等於菱形的對角線相乘除以2
（5）菱形判定定理1：四邊都相等的四邊形是菱形
（6）菱形判定定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。
三、正方形
（1）有一組鄰邊相等，並且有乙個角是直角的平行四邊形叫做正方形
（2）性質：①四個角都是直角，四條邊相等
②對角線相等，並且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角
（3）判定：①一組鄰邊相等的矩形是正方形
②有乙個角是直角的菱形是正方形
【例題精講】
【例1】填空題：
【鞏固】
1、下列說法中錯誤的是（ ）
a.四個角相等的四邊形是矩形b.四條邊相等的四邊形是正方形
c.對角線相等的菱形是正方形d.對角線互相垂直的矩形是正方形
2、如果乙個四邊形的兩條對角線互相平分，互相垂直且相等，那麼這個四邊形是 ( )
a.矩形b.菱形c.正方形 d.菱形、矩形或正方形
3、下面結論中，正確的是（ ）
a.對角線相等的四邊形是矩形b.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
c.對角線互相垂直的四邊形是菱形 d.對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形
4、如圖，在中，點d、e、f分別在邊、、上，且，．下列四種說法：
①四邊形是平行四邊形；
②如果，那麼四邊形是矩形；
③如果平分，那麼四邊形是菱形；
④如果且，那麼四邊形是菱形.
其中，正確的有只填寫序號）
【例2】如圖，在平行四邊形abcd中，點e，f分別是ad，bc的中點.
求證：四邊形bfde是平行四邊形.
【鞏固】已知，如圖9，e、f是四邊形abcd的對角線ac上的兩點，af＝ce，df＝be，df∥be．
四邊形abcd是平行四邊形嗎？請說明理由．
【例3】如圖，梯形abcd中，ab∥cd，ac平分∠bad，ce∥ad交ab於點e．
求證：四邊形aecd是菱形．
【例4】如圖，在等邊△abc中，點d是bc邊的中點，以ad為邊作等邊△ade．
（1）求∠cae的度數；
（2）取ab邊的中點f，鏈結cf、ce，試證明四邊形afce是矩形．
【鞏固】如圖，o為矩形abcd對角線的交點，de∥ac，ce∥bd．
（1）試判斷四邊形oced的形狀，並說明理由；
（2）若ab＝6，bc＝8，求四邊形oced的面積．
【例5】如圖所示，在△abc中，分別以ab、ac、bc為邊在bc的同側作等邊△abd、等邊△ace、等邊△bcf.
（1）求證：四邊形daef是平行四邊形；
（2）**下列問題：（只填滿足的條件，不需證明）
①當△abc滿足條件時，四邊形daef是矩形；
②當△abc滿足條件時，四邊形daef是菱形；
③當△abc滿足條件時，以d、a、e、f為頂點的四邊形不存在.
第三講：平行四邊形（二）
【知識梳理】
由平行四邊形的結構知，平行四邊形可以分解為一些全等的三角形，並且包含著平行線的有關性質，因此，平行四邊形是全等三角形知識和平行線性質的有機結合，平行四邊形包括矩形、菱形、正方形。
另一方面，平行四邊形有許多很好的性質，使得構造平行四邊形成為解幾何題的有力工具。
【例題精講】
【例1】四邊形四條邊的長分別為，且滿足，則這個四邊形是（ ）
a.平行四邊形b.對角線互相垂直的四邊形
c.平行四邊形或對角線互相垂直的四邊形 d.對角線相等的四邊形
【例2】如圖①，四邊形abcd是正方形， 點g是bc上任意一點，de⊥ag於點e，bf⊥ag於點f.
(1) 求證：de－bf ＝ ef．
(2) 當點g為bc邊中點時， 試**線段ef與gf之間的數量關係， 並說明理由．
(3) 若點g為cb延長線上一點，其餘條件不變．請你在圖②中畫出圖形，寫出此時de、bf、ef之間的數量關係（不需要證明）．
【鞏固】如圖1，在邊長為5的正方形中，點、分別是、邊上的點，且，.
（1）求∶的值；
（2）延長交正方形外角平分線（如圖13－2），試判斷的大小關係，並說明理由；
（3）在圖2的邊上是否存在一點，使得四邊形是平行四邊形？若存在，請給予證明；若不存在，請說明理由．
【例3】如圖，在矩形abcd中，已知ad＝12，ab＝5，p是ad邊上任意一點，pe⊥bd於e，pf⊥ac於f，求pe＋pf的值。
【例4】如圖，在△abc中，∠bac＝90°，ad⊥bc，be、af分別是∠abc、∠dac的平分線，be和ad交於g，求證：gf∥ac。
【例5】如圖所示，rt△abc中，∠bac＝90°，ad⊥bc於d，bg平分∠abc，ef∥bc且交ac於f。求證：ae＝cf。
【鞏固】如圖，在平行四邊形abcd中，∠b，∠d的平分線分別交對邊於點e、f，交四邊形的對角線ac於點g、h。求證：ah＝cg。
八年級數學競賽試題 八
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八年級數學競賽方案
鐵王中學2012 2013學年度第二學期 一 指導思想 為了激勵 七 八年級學生學習數學的積極性，培養學生合理的思維方法和健全的數學思想方法，強化學生的運算能力 分析問題和解決問題的能力，培養創新型人才，根據教務處 年級組的工作安排，特舉辦本次競賽。二 組織領導 組長 王克敏 副組長 韓磊 成員 李...
八年級數學競賽試題
滿分 100分時間 120分鐘 一 選擇題 6 5 每題只有乙個答案 1 已知三點a 2,3 b 5，4 c 4，1 依次連線這三點，則 a 構成等邊三角形 b 構成直角三角形 c 構成銳角三角形 d 三點在同一直線上 2 邊長為整數，周長為20的三角形個數是 a 4個 b 6個 c 8個 d 12...