第二章函式
第四講二次函式的最值
二次函式在閉區間上的最值
鄖縣第一中學(442500) 鄭傳根
一、 知識要點：
一元二次函式的區間最值問題，核心是函式對稱軸與給定區間的相對位置關係的討論。一般分為：對稱軸在區間的左邊，中間，右邊三種情況.
設，求在上的最大值與最小值。
分析：將配方，得頂點為、對稱軸為
當時，它的圖象是開口向上的拋物線，數形結合可得在[m，n]上的最值：
（1）當時，的最小值是的最大值是中的較大者。
（2）當時
若，由在上是增函式則的最小值是，最大值是
若，由在上是減函式則的最大值是，最小值是
當時，可模擬得結論。
二、例題分析歸類：
（一）、正向型
是指已知二次函式和定義域區間，求其最值。對稱軸與定義域區間的相互位置關係的討論往往成為解決這類問題的關鍵。此類問題包括以下四種情形：
（1）軸定，區間定；（2）軸定，區間變；（3）軸變，區間定；（4）軸變，區間變。
1. 定軸定區間
二次函式是給定的，給出的定義域區間也是固定的，我們稱這種情況是「定二次函式在定區間上的最值」。
例1. 函式在區間[0，3]上的最大值是最小值是_______。
解：函式是定義在區間[0，3]上的二次函式，其對稱軸方程是，頂點座標為（2，2），且其圖象開口向下，顯然其頂點橫座標在［0，3］上，
如圖1所示。函式的最大值為，最小值為。
圖1練習. 已知，求函式的最值。
解：由已知，可得，即函式是定義在區間上的二次函式。將二次函式配方得，其對稱軸方程，頂點座標，且圖象開口向上。
顯然其頂點橫座標不在區間內，如圖2所示。函式的最小值為，最大值為。
圖22、定軸動區間
二次函式是確定的，但它的定義域區間是隨引數而變化的，我們稱這種情況是「定函式在動區間上的最值」。
例2. 如果函式定義在區間上，求的最小值。
解：函式，其對稱軸方程為，頂點座標為（1，1），圖象開口向上。
如圖1所示，若頂點橫座標在區間左側時，有，此時，當時，函式取得最小值。
圖1如圖2所示，若頂點橫座標在區間上時，有，即。當時，函式取得最小值。
圖2如圖3所示，若頂點橫座標在區間右側時，有，即。當時，函式取得最小值
綜上討論，
圖8例3. 已知，當時，求的最大值．
解：由已知可求對稱軸為．
（1）當時，．
（2）當，即時，．
根據對稱性若即時，．
若即時，．
（3）當即時，．
綜上，觀察前兩題的解法，為什麼最值有時候分兩種情況討論，而有時候又分三種情況討論呢？這些問題其實仔細思考就很容易解決。不難觀察：
二次函式在閉區間上的的最值總是在閉區間的端點或二次函式的頂點取到。第乙個例題中，這個二次函式是開口向上的，在閉區間上，它的最小值在區間的兩個端點或二次函式的頂點都有可能取到，有三種可能，所以分三種情況討論；而它的最大值不可能是二次函式的頂點，只可能是閉區間的兩個端點，哪個端點距離對稱軸遠就在哪個端點取到，當然也就根據區間中點與左右端點的遠近分兩種情況討論。根據這個理解，不難解釋第二個例題為什麼這樣討論。
對二次函式的區間最值結合函式圖象總結如下：
當時當時3.動軸定區間
二次函式隨著引數的變化而變化，即其圖象是運動的，但定義域區間是固定的，我們稱這種情況是「動二次函式在定區間上的最值」。
例4. 已知，且，求函式的最值。
解：由已知有，於是函式是定義在區間上的二次函式，將配方得：
二次函式的對稱軸方程是頂點座標為，圖象開口向上
由可得，顯然其頂點橫座標在區間的左側或左端點上。
函式的最小值是，最大值是。
圖3例5. (1) 求在區間[-1,2]上的最大值。
(2) 求函式在上的最大值。
解：(1)二次函式的對稱軸方程為，
當即時，；
當即時，。
綜上所述：。
(2)函式圖象的對稱軸方程為，應分，，即，和這三種情形討論，下列三圖分別為
（1）；由圖可知
（2）；由圖可知
（3）時；由圖可知
；即4. 動軸動區間
二次函式是含引數的函式，而定義域區間也是變化的，我們稱這種情況是「動二次函式在動區間上的最值」。
例6. 已知，求的最小值。
解：將代入u中，得
①，即時，
②，即時，
所以（二）、逆向型
是指已知二次函式在某區間上的最值，求函式或區間中引數的取值。
例7. 已知函式在區間上的最大值為4，求實數a的值。
解：（1）若，不符合題意。
（2）若則
由，得（3）若時，則
由，得綜上知或
例8.已知函式在區間上的最小值是3最大值是3，求，的值。
解法1：討論對稱軸中1與的位置關係。
①若，則
解得②若，則，無解
③若，則，無解
④若，則，無解
綜上，解析2：由，知，則，
又∵在上當增大時也增大所以
解得評注：解法2利用閉區間上的最值不超過整個定義域上的最值，縮小了，的取值範圍，避開了繁難的分類討論，解題過程簡潔、明了。
例9. 已知二次函式在區間上的最大值為3，求實數a的值。這是乙個逆向最值問題，若從求最值入手，需分與兩大類五種情形討論，過程繁瑣不堪。
若注意到最大值總是在閉區間的端點或拋物線的頂點處取到，因此先計算這些點的函式值，再檢驗其真假，過程就簡明多了。
具體解法為：
（1）令，得
此時拋物線開口向下，對稱軸方程為，且，故不合題意；
（2）令，得
此時拋物線開口向上，閉區間的右端點距離對稱軸較遠，故符合題意；
（3）若，得
此時拋物線開口向下，閉區間的右端點距離對稱軸較遠，故符合題意。
綜上，或
解後反思：若函式圖象的開口方向、對稱軸均不確定，且動區間所含引數與確定函式的引數一致，可採用先斬後奏的方法，利用二次函式在閉區間上的最值只可能在區間端點、頂點處取得，不妨令之為最值，驗證引數的資格，進行取捨，從而避開繁難的分類討論，使解題過程簡潔、明了。
三、鞏固訓練
1．函式在上的最小值和最大值分別是1 ,3 ,3 （c）,3 （d）, 3
2．函式在區間上的最小值是2
3．函式的最值為
最大值為8，最小值為0 不存在最小值，最大值為8
（c）最小值為0, 不存在最大值不存在最小值，也不存在最大值
4．若函式的取值範圍是
5．已知函式上的最大值是1，則實數a的值為
6．如果實數滿足，那麼有
(a)最大值為 1 , 最小值為b)無最大值，最小值為
（c）)最大值為 1, 無最小值 (d)最大值為1，最小值為
7．已知函式在閉區間上有最大值3，最小值2，則的取值範圍是
(abcd)
8．若，那麼的最小值為
9．設是方程的兩個實根，則的最小值______
10．設求函式的最小值的解析式。
11．已知，在區間上的最大值為，求的最小值。
12.（2009江蘇卷）設為實數，函式.
(1)若，求的取值範圍；
(2)求的最小值；
(3)設函式，直接寫出(不需給出演算步驟)不等式的解集.
【解析】本小題主要考查函式的概念、性質、圖象及解一元二次不等式等基礎知識，考查靈活運用數形結合、分類討論的思想方法進行探索、分析與解決問題的綜合能力。
（1）若，則
（2）當時，
當時，綜上（3）時，得，
當時，；
當時，△>0,得：
討論得：當時，解集為;
當時，解集為;
當時，解集為.
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