一、集合的概念與表示，集合間的關係與運算．
1．理解用描述法表示的集合中元素的屬性是解決集合問題的重要基本功．
[例1] (1)集合a＝，b＝，則a∩b
(2)集合a＝，b＝，則a∩b
[解析] (1)集合a是函式y＝x的值域，∴a＝r，集合b是函式y＝x2的值域，∴b＝，∴a∩b＝．故填．
(2)集合a是直線y＝x上的點的集合，集合b是拋物線y＝x2的圖象上點的集合，∴a∩b是方程組的解為座標的點的集合，∴a∩b＝．
2．熟練地用數軸與venn圖來表達集合之間的關係與運算能起到事半功倍的效果．
[例2] 集合a＝，b＝，若，則實數p的取值範圍是________．
[解析] b＝
∴結合數軸可知－≤－1，∴p≥4.
[例3] 設全集u＝，若a∩b＝，(ua)∩b＝，(ua)∩(ub)＝，則下列結論中正確的為
a．c∈a且c∈b b．c∈a且cb
c．ca且c∈bd．ca且cb
[答案] b
[解析] 畫出venn圖如圖，依次據條件將元素填入，a∩b＝，故b填在a與b公共部分，(ua)∩b＝，故d填在a圈外，b圈內，又(ua)∩(ub)＝，∴a，e填在a、b兩圈外，只剩下一元素c不能填在上述三個位置，故應填在a內b外，∴c∈a且cb，選b.
3．含字母的集合的相等、包含、運算關係問題常常要進行分類討論．討論時要特別注意集合元素的互異性．
[例4] 集合a＝，b＝，若a＝b，則a2009＋b2010
[解析] 由條件知，或，
∴，但由互異性知，a≠1，∴，
∴a2009＋b2010＝－1.
4．空集是任何集合的子集，解題時要特別注意．
[例5] 集合a＝，b＝，若a b，則實數a的取值範圍是________．
[解析] ①當δ＝1－4a<0，即a>時，a＝，滿足a b；
②當δ＝0即a＝時，a＝，不合題意．
③當δ>0時，集合a中有兩相異元素，故a b不可能成立，綜上所述a>.
5．新定義集合，關鍵是理解「定義」的含義，弄清集合中的元素是什麼．
[例6] a、b都是非空集合，定義a*b＝，若a＝，b＝，則a*b中元素的和為
[解析] 由a*b的定義知，a可取1,2，b可取0,3，a*b中的元素x＝ab＋a＋b，
∴a*b＝，其元素之和為21.
6．熟練掌握aba∩b＝aa∪b＝b及集合的運算是解決一些集合問題的基礎．
[例7] (1)如果全集u＝，a＝，b＝，則u(a∪ba∩ub
(2)設a＝，b＝，且a∩b＝b，則實數a的值為
a．1b．－1
c．1或－1d．1，－1或0
[解析] (1)∵u＝＝，a∩ub＝∩＝．
故依次填，．
(2)當a＝0時，b＝ ，a∩b＝b；
當a≠0時，應有a＝，∴a＝±1.故選d.
二、函式的定義域、值域、單調性、奇偶性、最值及應用
1．解決函式問題必須首先弄清函式的定義域
[解析] 由x2＋4x≥0得，x≤－4或x≥0，又二次函式u＝x2＋4x的對稱軸為x＝－2，開口向上，故f(x)的增區間為[0，＋∞)．
2．求復合函式的定義域，關鍵是深刻理解「函式的定義域是使函式有意義的自變數x的允許取值範圍」．
[解析] (1)∵0≤x≤1時，f(x)有意義，
∴要使f(2x－1)有意義．
須0≤2x－1≤1，∴≤x≤1，
故所求定義域為[，1]．
(2)∵0≤x≤1，∴2≤x＋2≤3，∴使f(x)有意義的x的允許取值範圍是2≤x≤3，故所求定義域為[2,3]．
3．熟練掌握一次函式、二次函式、反比例函式和y＝
等的圖象特徵．熟練判斷函式的單調性、奇偶性，了解常見對稱特徵和平移．
(1)y＝f(－x)的圖象與y＝f(x)的圖象關於y軸對稱；
(2)y＝－f(x)的圖象與y＝f(x)的圖象關於x軸對稱；
(3)y＝－f(－x)的圖象與y＝f(x)的圖象關於原點對稱；
(4)奇函式的圖象關於原點對稱，偶函式的圖象關於y軸對稱；
(5)如果函式y＝f(x)對定義域內的一切x值，都滿足f(a＋x)＝f(a－x)，其中a是常數，那麼函式y＝f(x)的圖象關於直線x＝a對稱．
(6)將y＝f(x)的圖象上各點向右(左)平移a(a>0)個單位，可以得到函式y＝f(x－a)(y＝f(x＋a))的圖象．
將y＝f(x)的圖象上各點向上(下)平移a(a>0)個單位，可以得到y＝f(x)＋a(或y＝f(x)－a)的圖象．
(7)y＝|f(x)|的圖象可由y＝f(x)的圖象位於x軸及上方的部分不變，下方圖象作關於x軸的對稱翻摺而得到．
y＝f(|x|)的圖象在y軸及其右側部分與y＝f(x)圖象相同，而y＝f(|x|)是偶函式，再在y軸左側作右側部分的對稱圖形即可．
[例3] 已知函式f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．
(1)當a＝－1時，求函式f(x)的最大值和最小值；
(2)求實數a的取值範圍，使y＝f(x)在區間[－5,5]上是單調函式．
[分析] 第(1)問，將a＝－1代入，根據二次函式的圖象得出結論；第(2)問，根據二次函式的對稱軸的位置確定單調性．
[解析] (1)當a＝－1時，
f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]，
∵f(x)的對稱軸為x＝1.
∴x＝1時，f(x)取最小值1；
x＝－5時，f(x)取最大值37.
(2)f(x)＝x2＋2ax＋2＝(x＋a)2＋2－a2的對稱軸為x＝－a，∵f(x)在[－5,5]上是單調函式．
∴－a≤－5，或－a≥5，即a≤－5，或a≥5.
三、注重數學思想與方法的提煉與掌握，養成自覺運用數學思想與方法分析解決數學問題的思維習慣
1．數形結合的思想
[例1] 設函式f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)．
(1)證明f(x)是偶函式；
(2)指出函式f(x)的單調區間，並說明在各個單調區間上f(x)是增函式還是減函式；
(3)求函式的值域．
[解析] (1)f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1
＝x2－2|x|－1＝f(x)，∴f(x)是偶函式．
(2)當x≥0，時，f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，
當x<0時，f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2，
根據二次函式的作圖方法，可得函式圖象，如下圖所示
函式f(x)的單調區間為[－3，－1)，[－1,0)，[0,1)，[1,3]．
f(x)在區間[－3，－1]，[0,1]上為減函式，在[－1，0)，[1,3]上為增函式．
(3)當x≥0時，函式f(x)＝(x－1)2－2的最小值為－2，最大值為f(3)＝2.
當x<0時，函式f(x)＝(x＋1)2－2的最小值為－2，最大值為f(－3)＝2；
故函式f(x)的值域為[－2,2]．
[例2] 已知關於x的方程x2－4|x|＋5＝m有四個不相等的實數根，則實數m的取值範圍是
[解析] 設y1＝x2－4|x|＋5，y2＝m，由於y1＝x2－4|x|＋5為偶函式，畫出x≥0的圖象，再由對稱性可畫出x<0時的圖象，由圖可見1[例3] f(x)為偶函式，且在(0，＋∞)上為增函式，f(4)＝0，則xf(x)>0的解集為
a．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
b．(－4,0)∪(0,4)
c．(－∞，－4)∪(0,4)
d．(－4,0)∪(4，＋∞)
[解析] 作出示意圖如圖，xf(x)>0或，∴x>4或－4[例4] 函式y＝a|x|與y＝x＋a的圖象恰有兩個公共點，則實數a的取值範圍是
a．(1，＋∞)
b．(－1,1)
c．(－∞，－1]∪[1，∞)
d．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
[解析] 畫出y＝a|x|與y＝x＋a的圖象．
情形1： a>1
情形2： a<－1.故選d.
2．函式與方程的思想
函式與方程可以相互轉化，注意運用函式與方程的思想解決問題
要特別注意掌握一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的分布
討論一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)(※)的根的分布情況可以用(1)判別式(δ＝b2－4ac)與韋達定理(x1＋x2＝－，x1·x2＝)或(2)建構函式(f(x)＝ax2＋bx＋c)結合圖象和求根公式兩種思路來討論．
①方程(※)有兩不等實根δ>0，方程(※)有兩相等實根δ＝0，方程(※)無實根δ<0，方程(※)有實數解δ≥0.
②方程(※)有零根c＝0.
③方程(※)有兩正根較小的根x＝>0 (a>0) .
④方程(※)有兩負根較大的根x＝<0.
⑤方程(※)有一正一負兩實根f(0)<0.
方程(※)有一正一負兩實根且正根絕對值較大.
方程(※)有一正一負兩實根且負根絕對值較大.
⑥方程(※)的兩根都在區間a＝[m，n]內(a是其它區間時類似討論) .
方程(※)有且僅有乙個實根在區間a＝[m，n]內f(m)·f(n)<0.
方程(※)兩根x1，x2滿足m方程(※)兩根都在區間a＝[m，n]外或.
一元二次方程根的分布比較複雜，以上僅列出了一些常見情形，只要抓住根的判別式、韋達定理、根的表示式和相應函式的圖象，進行綜合考察，總能順利解決．
第一章集合與函式概念
一 選擇題 1 已知全集u 且ua 則集合a的真子集共有 a 3個b 4個c 5個d 6個 2 設集合a b 若ab，則a的取值範圍是 a 3 a b 且，則的取值集合是 ab c d 4 設i為全集，集合m，n，p都是其子集，則圖中的陰影部分表示的集合為 a m n p b m p in c p ...
第一章集合與函式概念測試
第一章綜合素能檢測 一 選擇題 本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1 已知a 則有 a 3 ab 1 ac 0 a d 1a 2 設集合a 若f x 2x 1是集合a到集合b的對映，則集合b可以是 a d 3 函式f x x3 x的圖象關於...
第一章集合與函式小結
教學目標 1 進一步理解和鞏固集合作為一種語言的功能，掌握集合間的基本關係及簡單的集合運算。會運用集合語言進行交流.2 通過進一步理解和鞏固函式的概念，會求簡單函式 包括分段函式 的性質及其綜合題 3 體會分類討論 數形結合等數學思想方法 教學重點 集合概念與運算 函式概念及函式性質的應用 教學難點...