第一章集合與函式概念
第一講集合
★重、難點突破
重點：集合元素的特徵、集合的三種表示方法、集合的交、並、補三種運算。
難點：正確把握集合元素的特徵、進行集合的不同表示方法之間的相互轉化，準確進行集合的交、並、補三種運算。
重難點：
1.集合的概念
掌握集合的概念的關鍵是把握集合元素的三大特性，要特別注意集合中元素的互異性，
在解題過程中最易被忽視，因此要對結果進行檢驗；
2．集合的表示法
（1）列舉法要注意元素的三個特性；（2）描述法要緊緊抓住代表元素以及它所具有的性質，如、、等的差別，如果對集合中代表元素認識不清，將導致求解錯誤：
(3)venn圖是直觀展示集合的很好方法，在解決集合間元素的有關問題和集合的運算時常用venn圖。
3．集合間的關係的幾個重要結論
（1）空集是任何集合的子集，即
（2）任何集合都是它本身的子集，即
（3）子集、真子集都有傳遞性，即若，，則
4．集合的運算性質
（1）交集
（2）並集
（3）交、並、補集的關係
①；②；
★熱點考點題型探析
考點一：集合的定義及其關係
題型1：集合元素的基本特徵
[例1]定義集合運算：．設，則集合的所有元素之和為（ ）
a．0；b．2；c．3；d．6
題型2：集合間的基本關係
[例2]．數集與之的關係是（ ）
a．；b．； c．；d．
[新題導練]
1．第二十九屆夏季奧林匹克運動會將於2023年8月8日在北京舉行，若集合a=，集合b=，集合c=，則下列關係正確的是（ ）
a． b. c. d.
2．定義集合運算:,設集合,,則集合的所有元素之和為
3．設和是兩個集合，定義集合，如果，,那麼等於
4．研究集合，，之間的關係
考點二：集合的基本運算
[例3] 設集合，
（1） 若，求實數的值；
（2）若，求實數的取值範圍
6．若集合，，則是（ ）
a. ；b. ；c.；d. 有限集
7．已知集合，，那麼集合為（ ）a.；b.；c.；d.
8．集合,,且,求實數的值.
9已知，，則中的元素個數是（ ）
a. ；b. ；c.；d.無窮多個
★搶分頻道
綜合提高訓練：
6．,則下列關係中立的是( )
a．; b．;c．;d．
7.設，，，記
，，則＝( )
a. ; b.; c. ; d.
8．設a、b是非空集合，定義，已知a=，b=，
則a×b等於（ ）
a．；b．；c．；d．
第2講函式與對映的概念
★重、難點突破
重點：掌握對映的概念、函式的概念，會求函式的定義域、值域
難點：求函式的值域和求抽象函式的定義域
重難點：1．關於抽象函式的定義域
求抽象函式的定義域，如果沒有弄清所給函式之間的關係，求解容易出錯誤
問題1：已知函式的定義域為，求的定義域
問題2：已知的定義域是，求函式的定義域
1． 求值域的幾種常用方法
（1）配方法：對於（可化為）「二次函式型」的函式常用配方法
（2）基本函式法：一些由基本函式復合而成的函式可以利用基本函式的值域來求，如函式就是利用函式和的值域來求。
（3）判別式法：通過對二次方程的實根的判別求值域。如求函式的值域
由得，若，則得，所以是函式值域中的乙個值；若，則由得，故所求值域是
（4）利用函式的單調性求求值域：
（7）圖象法：如果函式的圖象比較容易作出，則可根據圖象直觀地得出函式的值域（求某些分段函式的值域常用此法）。
★熱點考點題型探析
考點一：判斷兩函式是否為同乙個函式
[例1] 試判斷以下各組函式是否表示同一函式？
（1），；
（2），
（3），（n∈n*）；
（4），；
[新題導練]
1．下列函式中與函式相同的是( )
a .y = ()2 ; b. y = ; c. y = ; d. y=
2．與函式的圖象相同的函式是 （ ）
a.；b.；c.； d.
考點二：求函式的定義域、值域
題型1：求有解析式的函式的定義域
[例2].函式的定義域為( )
a.;b.；c. ;d.
題型2：求抽象函式的定義域
[例3]）設，則的定義域為（ ）
a. ；b. ；c. ；d.
題型3；求函式的值域
[例4]已知函式，若恒成立，求的值域
[新題導練]
3.）函式的定義域為 ．
4．定義在上的函式的值域為，則函式的值域為( )
a．；b．；c．；d．無法確定
5． 若函式的定義域是，則函式的定義域是
★搶分頻道
基礎鞏固訓練：
1．已知函式的定義域為，的定義域為，則
2．函式的定義域是
3．函式的值域是
4．從集合a到b的對映中,下列說法正確的是( )
a．b中某一元素的原象可能不只乙個；b．a中某一元素的象可能不只乙個
c．a中兩個不同元素的象必不相同； d．b中兩個不同元素的原象可能相同
5．下列對應法則中，構成從集合a到集合的對映是（ ）
a．b．c．d．6．若函式的定義域為,值域為，則的取值範圍是（ ）
a．；b．； c．；d．
綜合提高訓練：
8．設函式，則函式的定義域是
9．設函式的定義域是(是正整數)，那麼的值域中共有幾個整數
第3講函式的表示方法
★熱點考點題型探析
考點3：用解析法表示函式
題型1：由復合函式的解析式求原來函式的解析式
[例3]已知=，則的解析式可取為
題型2：求二次函式的解析式
考點4：分段函式
題型2：由分段函式的解析式畫出它的圖象
例6]設函式，在區間上畫出函式的影象。
[新題導練]
9．已知函式，則
10．設則不等式的解集為
★搶分頻道
基礎鞏固訓練：
1．（09年廣州高三年級第一學期中段考）函式的圖象如圖2所示.觀察圖象可知
函式的定義域、值域分別是（ ）
a.,；b.
c.,；d.
[解析] c；由圖象可以看出，應選擇c
2．（09年惠州第一次調研考）某工廠從2023年開始，近八年以來生產某種產品的情況是：
前四年年產量的增長速度越來越慢，後四年年產量的增長速度保持不變，則該廠這種產品的
產量與時間的函式影象可能是（ ）
[解析] b；前四年年產量的增長速度越來越慢，知圖象的斜率隨x的變大而變小，後四年年產量的增長速度保持不變，知圖象的斜率不變，∴選b．
3．（2004·湖南改編）設函式若,,則關於的方程的解的個數為
[解析] 3；由,可得，從而方程等價於
或，解得到或，從而得方程的解的個數為3
4．（05江蘇）已知為常數，若，
，則=[解析] 2；因為，所以
又，所以，
解得或，所以
5．對記，函式
的最小值是（ ）
a.；b. ；c.；d.
[解析] c；作出和的圖象即可得到函式
的最小值是
6．（中山市09屆高三統測）已知函式其中
， 。作出函式的圖象；
[解析] 函式圖象如下：
說明：圖象過、、點；在區間上的圖象為上凸的曲線段；在區間上的圖象為直線段
綜合提高訓練：
7．（09年惠州第二次調研考）如圖，動點在正方體的對角線上．過點作垂直於平面的直線，與正方體表面相交於．設，，則函式的圖象大致是（ ）
[解析] b；過點作垂直於平面的直線，當點運動時，線與正方體表面相交於兩點形成的軌跡為平行四邊形，可以看出與的變化趨勢是先遞增再遞減，並且在的中點值時取最大
8．（06重慶）如圖所示，單位圓中的長為，與弦ab所圍成的弓形面積的2倍，則函式的影象是（ ）
[解析] d；如圖所示，單位圓中的長為，與弦ab所圍成的弓形面積的2倍，當的長小於半圓時，函式的值增加的越來越快，當的長大於半圓時，函式的值增加的越來越慢，所以函式的影象是d.
9．（06福建）已知是二次函式，不等式的解集是且在區間上的最大值是12。
（i）求的解析式；
（ii）是否存在實數使得方程在區間內有且只有兩個不等的實數根？若存在，求出的取值範圍；若不存在，說明理由。
[解析]（i）是二次函式，且的解集是
可設在區間上的最大值是，由已知，得
（ii）方程等價於方程
設則當時，是減函式；
當時，是增函式。
方程在區間內分別有惟一實數根，而在區間內沒有實數根，
所以存在惟一的自然數使得方程在區間內有且只有兩個不同的實數根。
第4講函式的單調性與最值
範圍。★熱點考點題型探析
考點1 函式的單調性
題型2：研究抽象函式的單調性
[例2] 定義在r上的函式，，當x＞0時，，且對任意的a、b∈r，有f（a+b）=f（a）·f（b）.
（1）求證：f（0）=1；
（2）求證：對任意的x∈r，恒有f（x）＞0；
（3）求證：f（x）是r上的增函式；
（4）若f（x）·f（2x－x2）＞1，求x的取值範圍.
[新題導練]
1．函式的單調遞減區間是（ ）
a．; b．; c．; d．
2．函式的單調增區間為（ ）
a．；b．；c．；d．
考點2 函式的值域（最值）的求法
題型2：利用函式的最值求引數的取值範圍
[例4]已知函式
若對任意恆成立,試求實數的取值範圍。
★搶分頻道
基礎鞏固訓練：
1．（華師附中09高三數學訓練題）若函式在區間上為減函式，則實數的取值範圍是（ ）
a.；b.；c.；d.
[解析] c；因為，由其圖象知，若函式在區間上為減函式，則應有
2．（普寧市城東中學09）若函式在上是增函式，則實數的取值範圍是（ ）
a．；b．； c．；d．
[解析] a；若函式在上是增函式，則對於恆成立，即對於恆成立，而函式的最大值為，實數的取值範圍是
3．（09汕頭金中）下列四個函式中，在區間上為減函式的是（ ）
a．；b．；c．；d．
[解析] c；顯然在上是增函式，在上也是增函式
而對求導得，對於，
，所以在區間上為增函式，從而應選擇c
4．（09潮州金山中學）已知函式，若存在實數，當時，恆成立，則實數的最大值是（ ）
第一章集合與函式概念
一 選擇題 1 已知全集u 且ua 則集合a的真子集共有 a 3個b 4個c 5個d 6個 2 設集合a b 若ab，則a的取值範圍是 a 3 a b 且，則的取值集合是 ab c d 4 設i為全集，集合m，n，p都是其子集，則圖中的陰影部分表示的集合為 a m n p b m p in c p ...
第一章集合與函式概念測試
第一章綜合素能檢測 一 選擇題 本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1 已知a 則有 a 3 ab 1 ac 0 a d 1a 2 設集合a 若f x 2x 1是集合a到集合b的對映，則集合b可以是 a d 3 函式f x x3 x的圖象關於...
第一章集合與函式的概念章末總結
一 集合的概念與表示，集合間的關係與運算 1 理解用描述法表示的集合中元素的屬性是解決集合問題的重要基本功 例1 1 集合a b 則a b 2 集合a b 則a b 解析 1 集合a是函式y x的值域，a r，集合b是函式y x2的值域，b a b 故填 2 集合a是直線y x上的點的集合，集合b是...