第七講二次函式
教學重點與難點
重點：掌握二次函式的影象特徵，會求二次函式在給定區間上的最值、掌握二次函式、二次方程、二次不等式之間的關係、運用分類討論和數形結合思想求二次函式的最值；
難點：求解含引數的一元二次函式不等式中引數的範圍；
疑點：求含參的二次函式在閉區間的最值問題；
易錯點：求二次函式的單調區間時易忽略二次函式的係數不為零；易忽略用分類討論和數形結合思想求二次函式的最值；
考點一：求二次函式的解析式
（1）當已知拋物線上任意三點時，通常設為一般式y＝ax2＋bx＋c形式。一般式
y＝ax2＋bx＋c
（2）當已知拋物線的頂點與拋物線上另一點時，通常設為頂點式y＝a(x－h)2＋k形式。
（3）當已知拋物線與x軸的交點或交點橫座標時，通常設為兩根式y＝a(x－x1)(x－x2)。
典型例題
（1）已知乙個二次函式的圖象經過了點a（0，－1），b（1，0），c（－1，2）；
（2）已知拋物線頂點p(－1，－8)，且過點a(0，－6)；
（3）二次函式圖象經過點a（－1，0），b（3，0），c（4，10）；
（4）已知二次函式的圖象經過點（4，－3），並且當x=3時有最大值4；
（5）已知二次函式的圖象經過一次函式y＝－—x2+3的圖象與x軸、y軸的交點，且過(1，1)；
（6）已知拋物線頂點（1，16），且拋物線與x軸的兩交點間的距離為8；
（7）、如圖所示，已知拋物線的對稱軸是直線x=3，它與x軸交於a、b兩點，與y軸交於c點，點a、c的座標分別是（8，0）（0，4），求這個拋物線的解析式。
考點二：二次函式在閉區間上的最值
一、 知識要點：
一元二次函式的區間最值問題，核心是函式對稱軸與給定區間的相對位置關係的討論。一般分為：對稱軸在區間的左邊，中間，右邊三種情況.
設，求在上的最大值與最小值。
分析：將配方，得頂點為、對稱軸為
當時，它的圖象是開口向上的拋物線，數形結合可得在[m，n]上的最值：
（1）當時，的最小值是的最大值是中的較大者。
（2）當時
若，由在上是增函式則的最小值是，最大值是
若，由在上是減函式則的最大值是，最小值是
當時，可模擬得結論。
典型例題分類
（一）、正向型
是指已知二次函式和定義域區間，求其最值。對稱軸與定義域區間的相互位置關係的討論往往成為解決這類問題的關鍵。此類問題包括以下四種情形：
（1）軸定，區間定；（2）軸定，區間變；（3）軸變，區間定；（4）軸變，區間變。
1. 軸定區間定
二次函式是給定的，給出的定義域區間也是固定的，我們稱這種情況是「定二次函式在定區間上的最值」。
例1. 函式在區間[0，3]上的最大值是最小值是_______。
練習. 已知，求函式的最值。
2、軸定區間變
二次函式是確定的，但它的定義域區間是隨引數而變化的，我們稱這種情況是「定函式在動區間上的最值」。
例2. 如果函式定義在區間上，求的最小值。
變式1. 已知，當時，求的最大值．
對二次函式的區間最值結合函式圖象總結如下：
當時當時3、軸變區間定
二次函式隨著引數的變化而變化，即其圖象是運動的，但定義域區間是固定的，我們稱這種情況是「動二次函式在定區間上的最值」。
例3. 已知，且，求函式的最值。
變式1. (1) 求在區間[-1,2]上的最大值。
變式2(2) 求函式在上的最大值。
4. 軸變區間變
二次函式是含引數的函式，而定義域區間也是變化的，我們稱這種情況是「動二次函式在動區間上的最值」。
例4. 已知，求的最小值。
（二）、逆向型
是指已知二次函式在某區間上的最值，求函式或區間中引數的取值。
例5. 已知函式在區間上的最大值為4，求實數a的值。
變式1.已知函式在區間上的最小值是3最大值是3，求，的值。
評注：解法2利用閉區間上的最值不超過整個定義域上的最值，縮小了，的取值範圍，避開了繁難的分類討論，解題過程簡潔、明了。
變式2. 已知二次函式在區間上的最大值為3，求實數a的值。.
考點三：一元二次方程的兩根的分布範圍與二次函式係數的關x|k | b
設，則方程的實根分布的基本型別及相應方法如下表：
典型例題
1．關於的一元二次方程的一根大於1，另一根小於1.則的值是
2．方程為常數）有兩實根，且，，求的取值範圍
3．設是整數，且方程的兩根都大於而小於，則 .
4.若關於的方程的所有根都是比1小的正實數，則實數的取值範圍是
x k b 1 . c o m
5. 方程的一根不大於－1，另一根不小於1.試求：
（1）引數的取值範圍；（2）方程兩根的平方和的最大值和最小值.
二次函式在閉區間上的最值詳解
一 知識要點 一元二次函式的區間最值問題，核心是函式對稱軸與給定區間的相對位置關係的討論。一般分為 對稱軸在區間的左邊，中間，右邊三種情況.設，求在上的最大值與最小值。分析 將配方，得頂點為 對稱軸為 當時，它的圖象是開口向上的拋物線，數形結合可得在 m，n 上的最值 1 當時，的最小值是的最大值是...
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二次函式最值問題專題第 4 講 一 興趣匯入 topic in 二 學前測試 testing 重點梳理 1 二次函式一般形式為 頂點式為 2 結合二次函式的影象可知 當x滿足時，y隨著x的增大而增大 當x滿足時，y隨著x的增大而減小。3 數形結合討論最值問題，1 在x取任意實數時有 當時，影象開口 ...