立體幾何（性質定理，體積）
高三考前必講
1如圖，在六面體中，，，.求證：
（1）；
（2）.
證明：（1）取線段的中點，鏈結、，
因為，，
所以3分
又，平面，所以平面．
而平面，
所以7分
2）因為，
平面，平面，
所以平面9分
又平面，平面平面，……………………11分
所以．同理得，
所以14分
2如圖，在五面體中，已知平面，，，，．
（1）求證：；
（2）求三稜錐的體積．
3．如圖，在三稜錐p—abc中，平面pac平面abc，，e，f分別是ap，ac的中點，點d在稜ab上，且．
求證：（1）平面pbc；
（2）平面def平面pac．
4如圖，在三稜錐中，點分別是稜的中點．
(1)求證： //平面；
(2)若平面平面，，求證：．
5如圖4，在四稜錐p-abcd中，底面abcd為菱形，pb⊥平面abcd.
（l）若ac＝6，bd＝8，pb＝3，求三稜錐a一pbc的體積；
（2)若點e是dp的中點，證明：bd⊥平面ace．
6如圖，在四稜錐p－abcd中，底面abcd為直角梯形，ad∥bc，pb⊥平面abcd，cd⊥bd，
pb＝ab＝ad＝1，點e**段pa上，且滿足pe＝2ea．
（1）求三稜錐e－bad的體積；
（2）求證：pc∥平面bde．
本題滿分14分）
(1)過作,垂足為,
因為平面,
所以平面平面.
又平面平面,
平面,所以平面,
即為三稜錐的高．…………3分
由平面得,
故因為且
故…………………5分
因為所以在直角梯形中，
因為所以
從而………………8分
(2)鏈結交於，鏈結．
因為在直角梯形中，又因為
所以從而
因為所以……………………10分
因為所以
又因為，所以
所以……………………12分
因為平面平面，
所以平面．……………………14分
7如圖，在三稜錐p—abc中，平面pac平面abc，，e，f分別是ap，ac的中點，點d在稜ab上，且．
求證：（1）平面pbc；
（2）平面def平面pac．
8如圖，在直三稜柱中，ab⊥bc，e，f分別是，的中點．
（1）求證：ef∥平面abc；
（2）求證：平面⊥平面；
（3）若，求三稜錐
的體積．
證明：（1）鏈結．
∵直三稜柱中，是矩形，
∴點f在上，且為的中點．
在△中，∵e，f分別是，的中點， ∴ef∥bc． ……………2分
又∵bc 平面abc， ef平面abc，所以ef∥平面abc4分
（2）∵直三稜柱中，平面abc，∴bc．
∵ef∥bc，ab⊥bc，∴ab⊥ef， ef6分
∵，∴ef⊥平面8分
∵ef 平面aef，∴平面aef⊥平面10分
（312分
14分9如圖，在四稜柱中，已知平面平面且,
.（1） 求證：
（2） 若為稜的中點，求證：平面.
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