課時作業(七十六)
1．在同一平面直角座標系中，經過伸縮變換後，曲線c變為曲線x′2＋y′2＝1，則曲線c的方程為( )
a．25x2＋9y2＝1 b．9x2＋25y2＝1
c．25x＋9y＝1 d．＋＝1
答案 a
2．極座標方程ρ＝cosθ化為直角座標方程為( )
a．(x＋)2＋y2＝ b．x2＋(y＋)2＝
c．x2＋(y－)2＝ d．(x－)2＋y2＝
答案 d
解析由ρ＝cosθ，得ρ2＝ρcosθ，∴x2＋y2＝x.選d.
3．極座標方程ρcosθ＝2sin2θ表示的曲線為( )
a．一條射線和乙個圓 b．兩條直線
c．一條直線和乙個圓 d．乙個圓
答案 c
4．在極座標系中，圓ρ＝－2sinθ的圓心的極座標是( )
a．(1，) b．(1，－)
c．(1,0) d．(1，π)
答案 b
解析由ρ＝－2sinθ，得ρ2＝－2ρsinθ，化為普通方程x2＋(y＋1)2＝1，其圓心座標為(0，－1)，所以其極座標為(1，－)，故應選b.
5．設點m的直角座標為(－1，－，3)，則它的柱座標為( )
a．(2，，3) b．(2，，3)
c．(2，，3) d．(2，，3)
答案 c
6．(2013·安徽)在極座標系中，圓ρ＝2cosθ的垂直於極軸的兩條切線方程分別為( )
a．θ＝0(ρ∈r)和ρcosθ＝2
b．θ＝(ρ∈r)和ρcosθ＝2
c．θ＝(ρ∈r)和ρcosθ＝1
d．θ＝0(ρ∈r)和ρcosθ＝1
答案 b
解析由題意可知，圓ρ＝2cosθ可化為普通方程為(x－1)2＋y2＝1.
所以圓的垂直於x軸的兩條切線方程分別為x＝0和x＝2，再將兩條切線方程化為極座標方程分別為θ＝(ρ∈r)和ρcosθ＝2，故選b.
7．在極座標系中，過點(1,0)並且與極軸垂直的直線方程是( )
a．ρ＝cosθ b．ρ＝sinθ
c．ρcosθ＝1 d．ρsinθ＝1
答案 c
解析過點(1,0)且與極軸垂直的直線，在直角座標系中的方程為x＝1，所以其極座標方程為ρcosθ＝1，故選c.
8．(2013·天津)已知圓的極座標方程為ρ＝4cosθ，圓心為c，點p的極座標為(4，)，則|cp
答案 2
解析由圓的極座標方程為ρ＝4cosθ，得圓心c的直角座標為(2,0)，點p的直角座標為(2,2)，所以|cp|＝2.
9．(2014·唐山一中)在極座標系中，點p(2，－)到直線l：ρsin(θ－)＝1的距離是________．
答案 ＋1
解析依題意知，點p(，－1)，直線l為x－y＋2＝0，則點p到直線l的距離為＋1.
10．若曲線的極座標方程為ρ＝2sinθ＋4cosθ，以極點為原點，極軸為x軸正半軸建立直角座標系，則該曲線的直角座標方程為________．
答案 x2＋y2－4x－2y＝0
解析由cosθ＝，sinθ＝，ρ2＝x2＋y2，代入ρ＝2sinθ＋4cosθ，得ρ＝＋ρ2＝2y＋4xx2＋y2－4x－2y＝0.
11．在極座標系中，直線ρsin(θ＋)＝2被圓ρ＝4截得的弦長為________．
答案 4
解析直線ρsin(θ＋)＝2可化為x＋y－2＝0，圓ρ＝4可化為x2＋y2＝16，由圓中的弦長公式，得
2＝2＝4.
12．在極座標系中，圓ρ＝2cosθ的圓心的極座標是________，它與方程θ＝(ρ>0)所表示的圖形的交點的極座標是________．
答案 (1,0) (，)
解析 ρ＝2cosθ表示以點(1,0)為圓心，1為半徑的圓，故圓心的極座標為(1,0)．
當θ＝時，ρ＝，故交點的極座標為(，)．
13．在極座標系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲線ρ＝2sinθ與ρcosθ＝－1的交點的極座標為________．
答案 (，)
解析 ρ＝2sinθ的直角座標方程為x2＋y2－2y＝0，
ρcosθ＝－1的直角座標方程為x＝－1.
聯立方程，得解得
即兩曲線的交點為(－1,1)．又0≤θ<2π，因此這兩條曲線的交點的極座標為(，)．
14．在極座標系中，直線ρ(cosθ－sinθ)＋2＝0被曲線c：ρ＝2所截得弦的中點的極座標為________．
答案 解析直線ρ(cosθ－sinθ)＋2＝0化為直角座標方程為x－y＋2＝0，曲線c：ρ＝2化為直角座標方程為x2＋y2＝4.如圖，直線被圓截得弦ab，ab中點為m，則|oa|＝2，|ob|＝2，從而|om|＝，∠mox＝.
∴點m的極座標為.
15．已知點m的極座標為(6，)，則點m關於y軸對稱的點的直角座標為________．
答案 (－3，－3)
解析 ∵點m的極座標為(6，)，
∴x＝6cos＝6cos＝6×＝3，
y＝6sin＝6sin(－)＝－6×＝－3.
∴點m的直角座標為(3，－3)．
∴點m關於y軸對稱的點的直角座標為(－3，－3)．
16．在極座標系中，點p(2，)到直線l：3ρcosθ－4ρsinθ＝3的距離為________．
答案 1
解析在相應直角座標系中，p(0，－2)，直線l方程為3x－4y－3＝0，所以p到l的距離d＝＝1.
17．從極點o作直線與另一直線l：ρcosθ＝4相交於點m，在om上取一點p，使|om|·|op|＝12.
(1)求點p的軌跡方程；
(2)設r為l上的任意一點，試求|rp|的最小值．
答案 (1)ρ＝3cosθ (2)1
解析 (1)設動點p的座標為(ρ，θ)，
m的座標為(ρ0，θ)，則ρρ0＝12.
∵ρ0cosθ＝4，∴ρ＝3cosθ即為所求的軌跡方程．
(2)由(1)知p的軌跡是以(，0)為圓心，半徑為的圓，易得|rp|的最小值為1.
18．在極座標系下，已知圓o：ρ＝cosθ＋sinθ和直線l：ρsin(θ－)＝.
(1)求圓o和直線l的直角座標方程；
(2)當θ∈(0，π)時，求直線l與圓o公共點的極座標．
答案 (1)x2＋y2－x－y＝0，x－y＋1＝0 (2)(1，)
解析 (1)圓o：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，圓o的直角座標方程為x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0.
直線l：ρsin(θ－)＝，即ρsinθ－ρcosθ＝1，則直線l的直角座標方程為y－x＝1，即x－y＋1＝0.
(2)由得
故直線l與圓o公共點的極座標為(1，)．
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